Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

536 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

; tgα =

λγ

где ω0

= k m; l= m/m; a =

;

γ 2 − ω02

(γ 2 − ω02 )2 + λ2 γ 2

–π ≤ α ≤ 0; C

= z

−

qEz

; C

λ (z

−

I z

II z

−(λ

0 z

mω0

ω0

qEz

−

)

; CI = r0 − a e (α) ; CII

−

−(λ

mω0

ω0

−a

γ 2 + (λ 2)2 e

(α + β) ;

β = arctg

2γ

При t >> m/m частица движется в плоскости, перпендикулярной оси z, с постоянной угловой скоростью gпо окружнос-

ти радиуса R = a = qE . При этом кинетичес- m (γ 2 − ω20 )2 + λ2 γ 2

кая энергия частицы со временем не меняется, а электрическое поле в единицу времени совершает работу q(Ev) =

λγ 2q2 E2

= , равную по величине и противополож- m[ (γ 2 − ω20 )2 + λ2 γ 2 ]

ную по знаку работе силы трения.

34. Представим радиус-вектор частицы в виде r = ez z + r . Для z находим выражение

z = z0	cosω0t +	v0z	sinω0t,
		ω0
где ω02 = k m .

Частное решение уравнения для r ищем в виде r =
= C e (ωt + C ′) .
Для w получаем характеристическое уравнение
	ω2 + Ωω − ω02 = 0.
Корни этого уравнения: w		= w(–) и w			2	= w(+),
1			qB
		Ω =		.
где ω(±) = ω02 + (Ω 2)2 ± Ω 2;

			mc

Врезультате находим общее решение уравнения для r

ввиде:

r = C1 e (ω(−)t + C1′)+ C2 e (−ω(+)t + C2′);

(C ′) =

ω(+)r0

−[ez v0

]

(C2′) =

ω(−)r0 +[ez v0

]

C e

;

ω(+) + ω(−)

Таким образом, в рассматриваемом случае движение электрона складывается из трех независимых движений: из колебания с частотой w0 вдоль направления магнитного поля и из движений с угловыми скоростями w(–) и w(+) в противоположных направлениях по окружностям (с радиусами C1^ и C2^), лежащим в плоскости, ортогональной магнитному полю. Полученный результат в свое время использовался для объяснения так называемого простого эффекта Зеемана.

35. Для z находим выражение

z = exp(− λt 2){CI z cos[tω20 −(λ2)2 ]+

CII z sin[tω20 −(λ2)2 ]}, где ω20 = km , λ = μ/m.

Частное решение уравнения для r ищем в виде: r = C exp(−vt)e (ωt + C ′).

Систему характеристических уравнений для w и v можно представить в виде одного уравнения для комплексной величины w + iv:

(ω + iν)2 + (Ω − iλ)(ω + iν) − ω20 = 0,

где Ω = qB/mc.

Отсюда получаем два набора возможных значений:

ω1 = ω(–), v1 = λ(–)/2 и ω2 = –ω(+), v2 = λ(+)/2,

(±)

2λ ω(±)

(±)

где λ

; ω

+ b

+ a ± Ω

;

ω(+) + ω(−)

a =

(4ω02

+ Ω2

− λ2 ); b = λΩ.

Общее решение уравнения для r будет иметь вид:

= C

exp(− λ(−)t

2) e

(ω(−)t + C ′)+

exp(− λ(+)t 2) e

(−ω(+)t + C ′).

Из полученных выражений для возможных значений w и v видно, что большей по модулю частоте соответствует большее затухание.

36. Для составляющей радиус-вектора, параллельной магнитному полю, имеем:

z = C

cosω

t + C

sinω

t +

qEz

mω02

I z

II z

qEz

v0z

qEz

−

cosω0t +

sinω0t +

ω0

mω0

Для поперечной составляющей:

= C e

(ω(−)t + C ′)+ C

(−ω(+)t + C ′)+ a e

(γ t),

где a =

−

;

m(ω

(+)

+ ω

(

−)

)

(

γ − ω

(

−)

γ + ω

ω(+)r

−[e v

]− a

(γ + ω(+) )e

(0)

C1 e (C1′) =

;

ω(−)r

ω(+) + ω(−)

+[e v

]+ a

(γ − ω(−) )e

(0)

C2 e (C2′)

;

ω(+) + ω(−)

ω(±) = ω20 + (Ω2)2 ± Ω2; ω20 = km; Ω = qB/mc.

37.Для составляющей радиус-вектора, параллельной магнитному полю, получаем:

z = exp(− λt

2){CI z cos t

ω0

− (λ 2)

qEz cos(γ t + δ)

+CII z sin

t ω0

− (λ 2)

m (γ

2 2

− ω0 ) + γ

где ω02 = k m; λ = μ/m; tgδ =

γ λ

; –p ≤ d ≤ 0.

− ω0

Резонансной является частота w0.

Для поперечной составляющей:

= C

exp(− λ(−)t

2) e

(ω(−)t + C ′)+

exp(− λ(+)t 2) e (−ω(+)t + C

′) + A(γ,t) + A(−γ,t),

es = ω j [ej es ].

el = ω j [ej el ];

где λ(±) =

2λ ω(±)

; ω(±) =

± Ω

+ a

a2 + b2

;

ω(+) + ω(−)

a =

(4ω02 + Ω2 − λ2 ); b = lW;

A(γ,t) =

e (γ t + α);

2m (γ 2

+ Ωγ − ω02 )2 + λ

2 γ 2

sin α = −

λγ

;

(γ 2 + Ωγ − ω02 )2 + λ2 γ 2

cosα = −

γ 2 + Ωγ − ω02

(γ 2 + Ωγ − ω02 )2 + λ2 γ 2

Резонансными являются частоты ω20 + (Ω2)2 + Ω2

иω20 + (Ω2)2 − Ω2.

38.Для производных по времени орбитального момента

частицы l = r

∂L

∂r l

и спина s имеем:

=r ∂L + r ∂L = A[s l ];

∂r ∂r

s = s ∂∂Ls = A[l s ].

Из этих равенств вытекает, что при движении частицы сохраняются сумма орбитального и спинового моментов l + s = j = j ej и их абсолютные значения l и s, а единичные векторы, определяющие их направления (el = l l и es = ss ), вращаются вокруг вектора j с постоянной угловой скоростью wj = Aj:

		]
Уравнение Лагранжа с учетом соотношения s	= A[l s	]
и обозначения ω0 = k m примет вид:

r + 2A[r s ]+ A2[r[l s ]]+ A2[s[s r ]]+ ω02 r = 0.

(*)

С учетом того, что r l , будем искать решение этого уравнения в виде:

r = [el es ]x1 +[el [el es ]]x2 .

Подставим это выражение в уравнение (*) и (выполнив соответствующие дифференцирования) в полученном равенстве приравняем нулю множители при векторах [el es ] и [el [el es ]]. В результате получим систему уравнений для x1 и x2:

x1 + (ω20 − ωl2 )x1 − 2ωl x2 = 0; x2 + (ω20 − ωl2 )x2 + 2ωl x1 = 0.

Здесь введено обозначение wl = Al. Два уравнения системы можно записать в виде одного уравнения для комплексной величины x = x1 + ix2:

ξ + 2iωl ξ + (ω20 − ωl2 )ξ = 0.

Решая эти уравнения, найдем x1 и x2 и получим закон движения:

r (t) = C1 {[el es ]cos(ω0t + ωl t + α1 ) −[el [el es ]]sin(ω0t + ωl t + α1 )}+ + C2 {[el es ]cos(ω0t − ωl t + α2 )+[el [el es ]]sin(ω0t − ωl t + α2 )}.

Здесь Ck и ak (k = 1, 2) – постоянные интегрирования. В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью wj вокруг вектора j вместе с векторами el и es , движение частицы складывается из двух независимых движений: 1) движение с угловой скоростью w0 + wl по некоторой окружности в плоскости, ортогональной вектору el ; 2) движение в противоположном направлении по, вообще говоря, другой окружности в той же плоскости с угловой скоростью w0 – wl.

Приложение

При решении ряда задач бывает удобно использовать единичный вектор e (ϕ) . Здесь значок ^ указывает на то, что этот вектор ортогонален оси z, направление которой задается постоянным единичным вектором ez . Аргумент j – угол между e (ϕ) и некоторой фиксированной плоскостью, проходящей через ось z. Отсчет угла j производится в соответствии с правилом правого винта. Приведем некоторые соотношения, содержащие вектор e (ϕ) . Этот вектор можно разложить по паре взаимно ортогональных векторов e (ψ) и e (ψ + π2) при произвольном значении угла y:

e (ϕ) = e (ψ)cos(ϕ − ψ)+ e (ψ + π2)sin(ϕ − ψ). (П. 1)

Опираясь на это разложение, нетрудно получить соотношения:

e (ψ)cosϕ =

[e (ψ + ϕ)+ e (ψ − ϕ)],

(П. 2)

e (ψ)si n ϕ =

[e (ψ + ϕ − π

2) − e (ψ − ϕ − π 2) ] .

(П. 3)

(ϕ1 ) и a2e (ϕ2 ), получаем:

Суммируя векторы a1e

a1e (ϕ1 )+ a2e (ϕ2 ) = Ae (Ф),

(П. 4)

где

A =

a2 + a2

+ 2a a cos(ϕ − ϕ

(П. 5)

Ф=arctg

a1 sin ϕ1 + a2 sin ϕ2

(П. 6)

a cosϕ + a cosϕ

Особо отметим частный случай соотношений (П. 4–6):

ae (ϕ)+ be (ϕ + π 2) =

e (ϕ + arctg

a2 + b2

(П. 7)

Векторное умножение на ez

приводит к повороту вектора

e (ϕ) на 90°:

[ez e (ϕ) ] = e (ϕ + π 2) .

(П. 8)

К тому же результату приводит и дифференцирование вектора e (ϕ) :

de (ϕ)	= e (ϕ + π 2).	(П. 9)
dϕ

Двойное дифференцирование эквивалентно изменению
знака e (ϕ) :
	d 2e (ϕ)
		= e (ϕ + π) = −e (ϕ).	(П. 10)
	dϕ2	= e (ϕ + π) = −e (ϕ).	(П. 10)
	dϕ2

Интегрирование поворачивает вектор e (ϕ) на 90°, но направление поворота противоположно направлению по-


ворота при дифференцировании:
	∫ e (ϕ)dϕ = e (ϕ − π 2).					(П. 11)
Методом интегрирования по частям находим:
		exp(λϕ)
∫ exp(λϕ)e (ϕ)dϕ =					[e (ϕ − π 2)	+ λ e (ϕ)] =
∫ exp(λϕ)e (ϕ)dϕ =			1+ λ	2	[e (ϕ − π 2)	+ λ e (ϕ)] =
	exp(λϕ)		1+ λ
=	exp(λϕ)		e (ϕ − π 2 + arctgλ).			(П. 12)


	1+ λ2

Тем же методом нетрудно получить рекуррентное соотношение для вычисления интегралов вида Jn ≡ ∫ ϕne (ϕ)dϕ :

Jn + n(n −1)Jn−2 = nϕn−1e (ϕ)+ ϕne (ϕ − π 2) =
= ϕn 1+(n ϕ)2 e (ϕ − arctg	ϕ).	(П. 13)
	n

При n = 0 из этого соотношения получаем результат

(П. 11). При n = 1 имеем:
∫ ϕ e (ϕ)dϕ =	1+ ϕ2 e (ϕ −arctgϕ).	(П. 14)

Николай Александрович Попов

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

Издательство «Прометей» 115035, Москва, ул. Садовническая, д.72, стр.1

Òåë/ôàêñ: 8 (495) 799-54-29 E-mail: info@prometej.su

Подписано в печать 20.01.2015 Формат 60×90/16. Объем 3 п.л. Тираж 500 экз. Заказ № 434.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]