Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Учебное пособие

Ответы и решения

1. Выберем направления осей декартовой системы координат в соответствии с равенствами E =ez E и v0 = v0 y ey +v0z ez .

a) Нерелятивистский закон движения имеет вид: r (t)= C0 +C1t + qE2m t2 = r0 +v0t + 2qEm t2 =

= ex x0 + ey ( y0 + v0 yt) + ez (z0 + v0 z t + q2mE t2 ) .

Траектория частицы – парабола, лежащая в плоскости, параллельной векторам E и v0 и содержащей точку с радиусвектором r0 .

б) В релятивистском случае:

2. r (t)=C0 +C1t − mqEγ02 cos γ t = r0 +v0t + mqEγ02 (1−cos γ t) .

12

Проекция частицы на плоскость, перпендикулярную оси z, движется с постоянной угловой скоростью gпо окружности

В результате проекция траектории частицы на указанную плоскость оказывается трохоидой, которая при v0 =0 вырождается в циклоиду. Проекция частицы на ось z движется равноускоренно.

4. Общее решение линейного неоднородного уравнения mr +µr =qE представляет собой сумму общего решения однородного уравнения mr +µr =0 и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Поскольку в однородном уравнении коэффициенты постоянны, то его частные решения будем искать в виде r =C expkt , где C и k – постоянные. Подставляя это выражение для r в однородное уравнение, получаем характеристическое уравнение mk2 + mk = 0 с корнями k1 = 0; k2 = –m/m. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде r =a t . Постоянная a определяется путем подстановки этого решения в неоднородное уравнение 0+µ a =qE .

Постоянные C0 и C1 определяются путем подстановки начальных условий r (0)= r0 и r (0)= v0 в общее решение неоднородного уравнения. В результате находим закон движения:

r (t)=C0 +C1 exp(− µt m)+ qEµ t =

13

При t →∞ скорость частицы стремится к постоянному значению qE µ .

При t >> m/m частица движется практически по винтовой

7.Для w получается характеристическое уравнение w2 +

+Ww= 0, где W= qB/mc – так называемая циклотронная час-

тота. Корни характеристического уравнения: w0 = 0 и w1 = = –W. В результате получаем искомый закон движения:

z(t) =C0z +C1z t = z0 +v0z t ; r (t)=C0 +C1 e (−Ωt +C1′)=

= r0 + vΩ0 [e (−Ωt +ϕ0v +π2)−e (ϕ0v +π2)] .

Здесь j0v характеризует направление поперечной составляющей начальной скорости частицы: v0 = v0 e (ϕ0v ).Частица движется по винтовой линии, у которой ось параллельна

14

магнитному полю, шаг равен h = 2pcmv0z/qB и которая навита на цилиндр радиуса R = v0^/W = cmv0^/qB.

В релятивистском случае:

В циклических резонансных ускорителях магнитное поле закручивает траектории ускоряемых частиц, тогда как рост их скорости обеспечивается воздействием переменного электрического поля при прохождении частицами ускоряющих промежутков. При этом необходимо, чтобы соблюдалось условие резонанса, т.е. чтобы частота переменного электричес-кого поля (wэл) была равна (или кратна) частоте обращения частицы (Wрел). Поскольку с ростом скорости частота Wрел убывает, то для обеспечения условия резонанса нужно по мере ускорения частиц либо уменьшать wэл, либо увеличивать магнитное поле В, либо делать и то и другое одновременно. Ускорители, в которых используют постепенное уменьшение wэл при В = const, называются фазотронами. Ускорители, в которых постепенно увеличивают В при wэл = const, называются синхротронами. В синхрофазотронах по мере ускорения частиц меняют и wэл и В; при этом удается обеспечить не только условие резонанса, но и постоянство радиуса Rрел равновесной орбиты.

8. а) В нерелятивистском случае систему характеристических уравнений для k и wможно представить в виде одного уравнения для комплексной величины k + iw (i – мнимая единица):

(k + iw)2 + (l+ iW)(k + iw) = 0.

Отсюда получаем два набора возможных значений: k0 = 0,

ω0 = 0 и k1 = –λ, ω1 = –Ω, где λ = μ/m и Ω = qB/mc. Закон движения имеет вид:

z(t) =C0z +C1z exp(−λt)= z0 + vλ0z [1−exp(−λ t)] ;

15

r (t)=C0 +C1 exp(−λ t)e (−Ωt +C1′)=

плоскость представляет собой логарифмическую спираль.

Используя равенство p= −Fтр ( p) , получим:

16

Из уравнения (*) вытекает, что (ez ep )=const . Следовательно,

Интегрируя уравнения (1–4), получим закон движения

z =Cz −(c v0z λv0 )ξ .

17

Здесь ξ= pmc , λ =µm , Ω=qBmc , а Ct , Cϕ , C и Cz – определяемые начальными условиями постоянные. При по-

лучении выражения для r использовано соотношение (П. 7). Проекция траектории на перпендикулярную магнитному полю плоскость – логарифмическая спираль.

Если же Fтр = −λ p , то:

cv

z =Cz − λ 0z ln( 1+ξ2 +ξ) . v0

9. а) Нерелятивистский случай. Решая уравнения для v и ev , находим:

v =Cv −λ t ;

ev =Cz ez +C1e (−Ωt +C1′); или же с учетом начальных условий:

v(t)=(1−λ tv0 )[v0z ez +v0 e (−Ωt)].

Здесь λ = μ/m и Ω = qB/mc. Кроме того, положено e (0)= v0 v0 , чему соответствует C1′=0 . Интегрируя, находим закон движения:

При проведении преобразований использовано соотношение (П. 7). Движение частицы, начавшееся при t = 0 со

18

скоростью v0, заканчивается при t = v0/l. При этом частица проходит путь v02 2λ . Проекция частицы на перпендикулярную магнитному полю плоскость движется по так называемой развертке (эвольвенте) окружности, описывая за время движения ее часть, заключенную между двумя окружностями

б) В релятивистском случае закон движения (см. решение задачи 8) в параметрической форме (параметр x = p/mc; l = m/m; W = qB/mc) имеет вид:

t =Ct − cλξ ,

ϕ= cλΩ ln(1+ξ2 +ξ)+Cϕ ,

c2v

z =Cz − λv0z 1+ξ2 .

0

A= c2v0 1+[1+(cΩλ)2 ]ξ2 .

λv0[1+(cΩλ)2 ]

10.а) Нерелятивистский случай.

Здесь Ω = qB/mc − циклотронная частота; e (0)= v0 /v0 ; нижним индексом «0» отмечены значения величин при t = 0.

19

В нерелятивистском случае траектория представляет собой винтовую линию с радиусом

R = c p0 = mcv0 qB qB

и монотонно возрастающим шагом

h(t)= 2π cpz (t) = 2π c (mv0z +qE t) , qB qB

по которой частица движется с постоянной угловой скоростью Ω и неограниченно растущей скоростью вдоль оси z.

Из второго уравнения вытекает, что абсолютная величина поперечной компоненты импульса постоянна (p^ = p0^) и поперечный импульс меняется только по направлению:

qB

m2c2 + p2 + pz2 (t)

последнее уравнение с учетом выражения для pz(t), получаем: