Векторная алгебра. Учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика»

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ»

И.А. Колесникова

ВЕКТОРНАЯ

АЛГЕБРА

Учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика»

Москва Российский университет дружбы народов

2018

Колесникова, И. А.

К60 Векторная алгебра : учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика» / И. А. Колесникова. – Москва : РУДН, 2018. – 42 с.

Издание предназначено для студентов I курса, обучающихся по специальностям «Химия» и «Прикладная математика. Информатика» изучающих основы векторной алгебры.

В пособии содержится краткий обзор теоретического материала с примерами решения задач, а также варианты самостоятельных работ.

Оглавление

2

3

3

4

Глава 1

Векторная алгебра

§1.1. Понятие вектора

Определение. Вектором принято называть направленный отрезок, т.е. отрезок прямой с заданным направлением на нем. К векторам относится также и вектор начало и конец которого совпадают, такой вектор называется нулевой.

На рисунке направление указывается стрелкой. Принято обозначать вектор двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой или чертой наверху. Первая буква обозначает начало вектора, а последняя -его конец. Например, вектор

AB:

5

5

BD

AC

Рис. 1.1: Коллинеарные векторы.

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом заданного вектора. Вектор длина, которого равна единице называется единичным.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: AB jj CD: Нулевой вектор является коллинеарным любому вектору.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными (сонаправленными) или противоположно направленными, как показано на рис. 1.1.

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Два

6

6

вектора всегда компланарны. Отсюда можно сделать вывод, что коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы являются коллинеарными.

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковые модули.

Векторы также обозначаются строчной латинской бук-

вой: a , b , ...

Определение. Если два вектора коллинеарны, противоположно направлены и при этом имеют одинаковую длину, то такие векторы называются противоположными. Вектор противоположный вектору a; обозначается a ,

BA = AB; ( a) = a: Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

§1.2. Линейные операции над векторами

Пусть заданы два вектора a и b: Построим равные им векторы a = AB и b = BC (т.е. конец вектора a совпадает с началом вектора b ). Тогда вектор AC называется

суммой a и b ( рис. 1.2). Обозначение: a+b: Такое правило построения суммы двух векторов называется правилом

7

7

Рис. 1.2: Правило треугольника.

Рис. 1.3: Правило параллелограмма.

треугольника.

Пусть векторы a и b неколлинеарны. Отложим их от общей точки O : OA = a и OB = b и построим параллелограмм OACB ( рис. 1.3). Тогда диагональ полученного параллелограмма, содержит вектор OC; который является суммой векторов a и b . Такое правило построения суммы двух векторов называется правилом параллелограмма. Для трех некомпланарных заданных векторов существует такназываемое правило параллелепипеда: сумма трех некомпланарных векторов, есть вектор, расположенный на диагонали параллелепипеда, построенного на трех векторах от-

8

8

ложенных от заданной точки. Произведением вектора a

на число (скаляр) называется вектор b , удовлетворяю-

щий следующим условиям:

1) b jj a;

2)jbj = j j jaj;

3)векторы a и b сонаправлены, если > 0; и противоположно направлены, если < 0 (если = 0; то из условия 2) будем иметь, что b = 0: )

Определение. Сложение векторов и умножение вектора на скаляр называется линейными операциями над векторами. Перечислим свойства данных операций без доказательства

Определение. Разностью векторов a и b называется

9

9

a @ b

@

Рис. 1.4: Разность векторов.

вектор x = a b такой, что b + x = a ( рис. 1.4). Заметим, что a b = a + ( b) это есть правило параллелограмма для вычитания векторов (т.е. вектор разности векторов расположен на другой диагонали переллелограмма).

Вычитание мы определяем через сложение, поэтому можно не считать его отдельной операцией. Так же не будем считать отдельной операцией деление вектора на число, будем определять его как умножение вектора на обратную величину этого же числа:

a = 1 a:

Выражение 1a1 + 2a2 + ::: + nan называется линейной комбинацией векторов. при этом числа 1; 2; :::; n принято называть коэффициентами линейной комбинации.

Отметим еще следующие свойства линейных операций над векторами:

1) 8 a; (1) a = a;

10

10