Векторная алгебра. Учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика»
.pdf
a
a0 = jaj = icos + jcos + kcos :
Замечание. В случае векторов лежащих на плоскости ортонормированный базис состоит из двух векторов i и j
и любой вектор a плоскости задается в таком базисе двумя координатами x; y a = xi + yj: Поэтому, все полученные выше формулы верны и для плоскости, если считать,что k = 0 и z = 0:
§1.7. Определители 2-го и 3-го порядка
Пусть заданы четыре числа a1; b1; a2; b2; расположенные в виде таблицы (называемой квадратной матрицей 2-
го порядка)
!
a1 b1 : a2 b2
Определителем 2-го порядка называется число, обозна-
чаемое символом
1b1
;
a
a2 b2
которое можно вычислить с помощью следующего правила:
21
21
a1 |
b1 |
|
= a1b2 |
a2b1: |
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь 9 чисел a1; b1; c1; a2; b2; c2; a3; b3; c3; расположенных в виде таблицы (называемой квадратной
матрицей 3-го порядка)
0 1
a1 b1 c1
B@a2 b2 c2CA:
a3 b3 c3
Определителем 3-го порядка называется число, обознача-
емое символом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
b1 |
c1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
; |
|
a3 |
b3 |
c3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое можно вычислить |
с помощью |
следующего правила: |
||||
a1 |
b1 |
c1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a2 b2 |
c2 |
|
= a1b2c3 +b1c2a3 +c1a2b3 c1a3b2 b1c3a2 a1b3c2: |
|
a3 |
b3 |
c3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление определителя 3-го порядка можно свести к
вычислению трех опредилителей 2-го порядка
a1 |
b1 |
c1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a2 b2 |
c2 |
|
= a1(b2c3 b3c2) b1(c3a2 c2a3)+c1(a2b3 a3b2) = |
|
a3 |
b3 |
c3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
22
= a1 |
|
b2 |
c2 |
|
b1 |
|
a2 |
c2 |
|
+ c1 |
a3 |
b3 |
|
(1.8) |
|
|
b3 |
c3 |
|
|
a3 |
c3 |
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение (1.8) называется разложением определите-
ля 3-го порядка по первой строке. Аналогично, можно по-
лучить разложение определителя 3-го порядка по любой
строке или любому столбцу.
Задания для самостоятельного решения.
Вычислить определитель, разложив его по 2 столбцу,
при k = сумме последних двух цифр Вашего студенческого
билета.
3 |
2 |
k |
|
||
|
4 |
1 |
2 |
|
: |
5 |
2 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§1.8. Векторное произведение двух векто-
ров
Векторным произведением вектора a на вектор b называется третий вектор c; удовлетворяющий следующим
трем |
условиям: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
?b; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
c |
a; |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
jcj = jaj jbj sin(a; b); |
||||||||||||||||||||
3) |
тройка ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
-правая. |
|||||||||||
a; b; c) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
||||
23
Обозначения: [a; b]; [ab]; a b и другие. По определению, получим
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?b; |
|
|
|
|
|
|||||
a; |
b] |
?a; [ |
a; b] |
|
|
^ |
|
|
||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
j[a; b]j = jaj jbj |
sin(a; b); |
|||||||||||||||||||||||||||
3) тройка |
|
|
|
|
|
|
|
-правая. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a; b; [a; b] |
||||||||||||||||||||||||||||
Замечание. Упорядоченная тройка векторов называется правой (левой), если для наблюдателя, смотрящего из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден в положительном (отрицательном) направлении, т.е. против часовой стрелки (по часовой стрелке).
Рассмотрим простейшие СВОЙСТВА векторного произведения двух векторов, вытекающие непосредственно из определения.
1. Модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов численно равняется площади параллелограм-
ма, построенного на этих векторах.
j j j j ^ j j
S = a b sin(a; b) = [a; b] :
2. Векторное произведение антикоммутативно: при перестановке сомножителей оно заменяется противоположным вектором: 8a; b [a; b] = [b; a]:
3. Векторное произведение двух коллинеарных векторов равняется нулевому вектору.
Действительно, коллинеарность двух векторов a и b
24
24
обозначает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1)либо |
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) либо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(a; b) = 0; |
a = 0; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2) либо |
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) либо |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.9) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(a; b) = |
|
|
|
|
; |
b = 0: |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Во всех случаях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
j[a; b]j = jaj jbj sin(a; b) = 0; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.11) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a; b]j = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. Если векторное произведение двух векторов a и b
равно нулевому вектору, то эти векторы коллинеарны.
Действительно, равенство (1.11) равносильно равенству (1.10), из которого следует выполнение одного из условий (1.9) , что однозначно коллинеарность векторов a и b .
Свойства 3 и 4 можно сформулировать вместе следующим образом:
Для того, чтобы два вектора a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.
25
25
§1.9. Смешанное произведение трех векто-
ров
Пусть дана упорядоченная тройка векторов (a; b; c):
Умножим сначала a на b векторно, а затем полученный вектор [a; b] умножим скалярно на c: Тогда получим чис-
ло, которое называется смешанным произведением |
векто- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a; b и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
c: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Обозначения: ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a; b; c); (abc); a b c; abc: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, по определению |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.12) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a; b; c) = [a; b]c: |
||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим следующие СВОЙСТВА смешанного произведения трех векторов:
1. (Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов) Смешанное произведение трех векторов a; b; c равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком " плюс " , если тройка a; b; c
-правая, и со знаком " минус " , если эта тройка левая.
2.Смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю.
Действительно, если векторы a; b; c компланарны, мож-
но считать, что они лежат в одной плоскости. Но тогда
вектор [a; b] ортогонален этой плоскости. Следовательно,
26
26
c?[a; b] и поэтому (a; b; c) = [a; b]c = 0:
3. Если смешанное произведение трех векторов равно нулю, то эти векторы компланарны.
Действительно, если эти векторы были некомпланарны, то на них можно было бы построить параллелепипед с объемом, а это означало бы, что (a; b; c) 6= 0:
Свойства 2 и 3 можно сформулировать вместе следующим образом:
Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.
4. Смешанное произведение трех векторов (a; b; c) не меняется при циклической перестановке сомножителей.
Действительно, при циклической перестановке векторов
(a; b; c) не изменяется ни объем параллелипипеда, на них построенного, ни ориентация тройки (a; b; c): Следовательно, при циклической перестановке векторов (a; b; c) не изменяется ни модуль смешанного произведения, ни его знак.
5.При перестановке двух сомножителей смешанное произведение трех векторов (a; b; c) меняет знак на противоположный.
Действительно, при такой перестановке объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, не меняется, а ориентация тройки векторов (a; b; c) меняется на противо-
27
27
положную. В связи с этим модуль смешанного произведения (a; b; c) не меняется, а его знак меняется на противоположный.
Из свойств 4 и 5 получаем следующие соотношения:
(a; b; c) = (b; c; a) = (c; a; b; ) = (a; c; b) = (c; b; a) = (b; a; c)
(1.13)
6. Еще одно важное свойство смешанного произведения трех векторов 8a; b; c; [a; b]c = a[b; c] = 0:
В силу коммутативности скалярного произведения и соотношений (1.12) и (1.13) , будем иметь следующее: a[b; c] = [b; c]a = (b; c; a) = (a; b; c) = [a; b]c:
§1.10. Координатное выражение векторно-
го и смешанного произведений век-
торов
Пусть (i; j; k) ортонормированный базис (например, правый). Из определения векторного произведения следует "таблица умножения" ортов i; j; k :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[i; i] = 0; |
[j; j] = 0; |
[k; k] = 0; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
[i; j] = k; |
[j; k] = i; |
[k; i] = j; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
28
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.14) |
[j; i] = k; [k; j] = i; [i; k] = j: |
|||||||||||||||||||
Пусть заданы векторы ab; c с помощью своих координат
относительно ортонормированного базиса (i; j; k) :
a = (x; y; z); то есть a = xi + yj + zk; |
|
b = (x0 ; y0 ; z0 ) то есть b = x0 i + y0 j + z0 k; |
|
c = (x00 ; y00 ; z00 ) то есть c = x00 i + y00 j + z00 k: |
(1.15) |
Используя соотношения (1.14) и свойства векторного
произведения, получим
[a; b] = [xi+yj+zk; x0 i+y0 j+z0 k] = xx0 [i; i]+xy0 [i; j]+xz0 [i; k]+
+yx0 [j; i] + yy0 [j; j] + yz0 [j; k] + zx0 [k; i] + zy0 [k; j] + zz0 [k; k] =
= xy0 k xz0 j yx0 k + yz0 i + zx0 j zy0 i =
= (yz0 zy0 )i + (zx0 xz0 )j + (xy0 yx0 )k:
С помощью определителей полученный результат можно
представить в следующем виде:
[a; b] = |
y0 |
z0 |
i |
|
x0 |
z0 |
j + |
|
x0 |
y0 |
k |
(1.16) |
||||||||
|
y |
z |
|
|
|
x |
z |
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или
29
29
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
k |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
: |
(1.17) |
||||||
[a; b] = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x0 |
y0 |
z0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножая скалярно вектор (1.16) на вектор c , будем
иметь следующее:
(a; b; c) = [a; b]c =
|
|
|
|
|
= |
|
yy0 |
z |
x00 |
z0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
0
x
z z0
y00 |
+ |
|
x |
y |
x0 |
y0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z00 |
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
||
= |
x0 |
y0 |
z0 |
: |
||||||
|
|
|
x |
00 |
y |
00 |
z |
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.18) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С помощью полученной формулы (1.18) условие ком-
планарности трех векторов может быть сформулировано в
следующем виде:
Для того, чтобы три вектора ab; c были компланарны,
необходимо и достаточно, чтобы определитель третьего
порядка (1.18), составленный из их координат равнялся
нулю
x y z
|
x0 |
y0 |
z0 |
|
= 0: |
x00 |
y00 |
z00 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30
30