Векторная алгебра. Учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика»

Глава 2

Метод координат

§2.1. Декартовы системы координат

Пусть в пространстве зафиксирована точка O: Тогда между точками и векторами пространства можно установить взаимно однозначное соответствие по следующему правилу: (M ! r) () (OM = r):

Вектор r = OM называется радиус-вектором точки M

относительно начала (или полюса ) O: Запись M(r) означает, что точка M лежит на расстоянии от начала (полюса) на расстоянии равном длине вектора r:

Декартовой системой координат или репером в пространстве называется совокупность точки O (начала коор-

31

31

динат) и трех некомпланарных векторов e1; e2; e3 (базиса). Обозначение : (O; e1; e2; e3):

Пусть в пространстве задана произвольная точка M . Координаты ее радиус-вектора r = OM относительно базиса (e1; e2; e3); то есть числа x; y; z такие,что

r = OM = xe1 + ye2 + ze3

называют декартовыми координатами точки M относительно репера (O; e1; e2; e3):

Запись M(x; y; z) означает, что точка M имеет относительно данного репера координаты x; y; z:

Числа x; y; z называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой точки M:

При произвольном выборе базисных векторов (e1; e2; e3);

система координат (O; e1; e2; e3) называется афинной, а координаты относительно нее - аффинными координатами.

Мы будем пользоваться главным образом такими реперами, базисные векторы которых ортонормированы, т.е. реперами вида (O; e1; e2; e3); где векторы i; j; k единичны и попарно ортогональны. Такой репер называется ортонормированным репером или прямоугольной декартовой системой координат, а координаты точки относительно него - прямоугольными декартовыми координатами.

Оси с общим началом O и единичными векторами i; j; k

32

32

называются осями координат или координатными осями и

обозначаются соответственно через Ox; Oy; Oz: Кроме того, каждая из них имеет название : Ox ось абсцисс, Oy ось ординат, Oz ось аппликат.

Три пары координатных осей определяют три координатные плоскости: Oxy; Oxz; Oyz:

Декартовы координаты на плоскости определяются совершенно аналогично. Разница лишь в том, что на плоскости репер состоит из начала O и двух базисных векторов i и j; а точка имеет только две координаты : абсциссу x

и ординату y M(x; y) () OM = xi + yj:

Аналогично на прямой репер состоит из начала O и одного базисного вектора i; а каждая точка имеет одну единственную координату x M(x) () OM = xi:

Радиус-вектор любой точки раскладывается по базисным векторам единственным образом, следовательно, координаты данной точки относительно заданного репера определяются однозначно. Верно и обратное, для любых трех вещественных чисел x; y; z можно найти одну единственную точку M; для которой данные числа, будут являться координатами - это конец вектора OM = xi + yj + zk:

Т.о., задание репера в пространстве определяет взаимно однозначное соответствие между точкам пространства и упорядоченными тройками вещественных чисел.

33

33

Аналогично, задание репера на плоскости определяет взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами вещественных чисел, а задание репера на прямой определяет взаимно однозначное соответствие между ее точками и вещественными числами.

§2.2. Простейшие задачи аналитиической

геометрии

1. Расстояние между двумя точками. Заметим сначала, что если известны координаты двух точек A и B относительно данного репера (O; i; j; k); то легко определить координаты вектора AB относительно базиса i; j; k: Действительно, пусть A(x1; y1; z1); B(x2; y2; z2); то есть OA =

x1i + y1j + z1k; OB = x2i + y2j + z2k:

Отсюда легко получить формулу для вычисления расстояния между двумя точками A и B: Действительно,

34

34

AMjjMB и MB 6= 0; то т. M; делящая отрезок AB в отношении ; лежит на прямой (AB); но A 6= B:

Будем считать, что точки A и B различны. Тогда 6= 1: Действительно, если MBAM = 1; то AM = ( 1)MB =)

AM = MB =) AM = +MB = 0 =) AB = 0; что противоречит условию, что точки A и B различны.

Рассмотрим т, A(x1; y1; z1) и т. B(x2; y2; z2) относитель-

но некоторого репера (0; i; j; k); при условии,что 6= 1 . Найдем точку M(x; y; z) , делящую направлененный отрезок AB в отношении .

Перепишем условие (2.1) в виде AM = MB используя, полученые ранее формулы и, сделав необходимые пре-

35

35

Линейные операции сводятся к тем же операциям над одноименными координатами векторов, то из (2.2) следу-

36

Если рассматривать двухмерное пространство, т.е. z1 = z2 = z3 = 0 , то получим формулу для вычисления площади треугольника на плоскости

37

37

Глава 3

Задачи для

самостоятельного решения

§3.1. Прямоугольная система координат

метричных точке A относительно оси Ox , оси Oy; начала координат.

38

38

4. Найти координаты точек, симметричных относитель-

но оси Ox точкам: 1) A(2; 3); 2) B( 3; 2); 3) C( 1; 1); 4)

D(a; b):

5. Найти координаты точек, симметричных относительно оси Oy точкам: 1) A( 1; 2); 2) B(3; 1); 3) C( 2; 2);

4)D(a; 0):

6.Найти координаты точек, симметричных относитель-

E(10; 13): Определить расстояние между точками : 1) A

и B ; 2) B и C ; 3) A и C ; 4) C и D ; 5) A и D ; 6) D и E .

9.Точки A(2; 4); B( 3; 7); C( 6; 6) - три вершины параллелограмма, причем A и C - противоположные вершины. Найти четвертую вершину.

10.Доказать, что три точки лежат на одной прямой

(2; 3); (5; 7)(11; 15):

39

15.На оси абсцисс найти точку K , расстояние от которой до точки до точки A(1; 3) равно 7.

16.На оси ординат найти точку M , расстояние от которой до точки до точки A(4; 2) равно 4.

17.Две противоположные вершины квадрата находятся

чен квадрат. Какова его площадь? Чему равна длина стороны этого квадрата? Найти координаты середин

40