Векторная алгебра. Учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика»

e *

O

Рис. 1.5:

2) 8 a; b; ja+bj jaj+jbj неравенство треугольника.

§1.3. Координаты вектора

Определение. Вектор a0 , вида a0 = jaaj будем называть ортом вектора a:

Прямая l называется осью, если на ней указаны начальная точка, единица длины и направление, т.е. для того,чтобы прямая стала осью достаточно задать на ней единичный вектор (или орт) e ( рис. 1.5)

Определение. Углом между заданными ненулевыми векторами a = OA и b = OB называется наименьший из углов \AOB ( рис. 1.6).

Заметим, что угол между векторами может принимать значения от 0 до ; в частности 0 , если векторы сонаправлены, и , если векторы противоположно направлены. В случае, если угол между векторами равен 2 , то такие

11

11

@

Рис. 1.6:

векторы называются ортогональными. Обозначение a ? b:

Вектор 0 считается ортогональным любому вектору.

Теорема 1. Если на прямой задан вектор e , то любой вектор a можно представить и при том единственным образом в следующем виде:

Доказательство. Так как ajje и e 6=0; можем рассмотреть отношение ae , т.е. существует число x такое, что

ae = x; т.е. a = x e:

Для доказательства единственности данной теоремы предположим, что x не единчтвенное число, т.е. есть x0

12

Выражение (1.1) называется разложением вектора a по

вектору e:

Если ставится задача о разложении различных векторов прямой по заданному на ней ненулевому вектору e; то вектор e называется базисным вектором, а коэффициент x в разложении (1.1) называется координатой вектора a

относительно базисного вектора.

Теорема 2. Если на плоскости заданы два неколлинеарных вектора e1 и e2 , то любой вектор a этой плоскости можно представить и при том единственным образом в сле-

ки O . Через конец D вектора OD = a проведем прямые параллельные вектрам e1 и e2 . Получим параллелограмм

OADB: Тогда по правилу параллелограмма получим

13

Рис. 1.7: Разложение вектора на базису (e1; e2):

Рис. 1.8: Разложение вектора на базису (e1; e2; e3):

Единственность разложения формулы (1.5) следует из разложения (1.4) и (1.3).

Если требуется разложить всевозможные векторы плоскости по двум фиксированным некомпланарным векторам e1; e2 этой плоскости, взятым в определенном порядке, то векторы e1; e2 называются базисными, а коэффициенты x

и y в разложении (1.5) называются координатами вектора a относительно базиса e1; e2; при этом x называется

абсциссой, а y ординатой вектора a:

Обозначение: a = (x; y) или a(x; y):

Теорема 3. Если в пространстве заданы три некомпланарных вектора e1 , e2 и e3 , то любой вектор a этого про-

14

14

странства можно представить и при том единственным образом в следующем виде:

Доказательство. Предлагается провести самостоятельно.

Если речь идет о разложении векторов пространства по трем некомпланарным векторам e1 , e2 , e3 , то упорядоченная тройка векторов (e1; e2; e3) называется базисом , а коэффициенты x; y; z в разложении

называютсякоординатами вектора a относительно этого базиса. При этом x называется абсциссой, y ординатой, z аппликатой вектора a:

Обозначение: a = (x; y; z) или a(x; y; z):

Если векторы e1 , e2 , e3 единичны и попарно ортогональны, то базис называется ортонормированным. В этом случае вместо e1 , e2 , e3 пишут i , j , k:

В случае ортонормированного базиса координаты вектора a = xi + yj + zk -есть проекция a на i , j , k:

В дальнейшем нам понадобится почти везде ортонормированные базисы.

15

15

Следует отметить, что при сложении векторов их одноименные координаты складываются, а при умножении вектора на скаляр его координаты умножаются на этот скаляр.

§1.4. Линейная зависимость

Линейная комбинация 1a1 + 2a2 + 3a3 + ::: kak векторов a1; a2; a3; :::; a называется нетривиальной, если хоть один из коэффициентов 1; 2; :::; k отличен от нуля (т.е. не все коэффициенты равны нулю). Она называется тривиальной, если все коэффициенты 1 = 2 = ::: = k = 0:

Векторы a1; a2; :::; a называются линейно зависимыми,

если существует хотя бы одна их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю. Они называются линейно зависимыми, если нулевому вектору равняется только их тривиальная линейная комбинация.

СВОЙСТВА:

1)Если система векторов a1; a2; :::; a линейно зависима, один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

2)Если какой-нибудь вектор системы a1; a2; :::; a является линейной комбинацией остальных остальных, то система линейно зависима.

3)Если часть системы векторов (подсистема) линейно

16

16

зависима, то вся система линейно зависима. В частности,

система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

4)Если система векторов a1; a2; :::; a линейно независима, то любая ее подсистема линейно независима.

5)Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

6)Три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

7)Любые четыре вектора линейно зависимы.

§1.5. Скалярное произведение двух векторов

Скалярым произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение: a b; ab , (a; b) и другие.

j j j j ^

Таким образом, ab = a b cos(a; b);

если хотя бы один из векторов a; b нулевой, то их скалярное произведение будем считать равным нулю по определению.

СВОЙСТВА:

1) Скалярное произведение двух векторов коммутативно: 8a; b; ab = ba:

17

17

2) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: 8a; a2 = a a = jaj2:

3)Скалярное произведение двух ортогональных векторов равно нулю: a?b =) ab = 0:

4)Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны: ab = 0 =) a?b:

5)Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию второго вектора на первый.

6)Скалярное произведение двух векторов ассоциативно

относительно умножения вектора на скаляр 8a; b; 8 2

R; (ab) = ( a)b = a( b):

Другими словами, умножение скалярного произведения двух векторов на число равносильно умножению на это число одного из сомножителей.

7) Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов: 8a; b; c; a(b + c) = ab + ac; (a + b)c = ac + bc:

Замечание 1. Свойство 7) по индукции легко можно распространить на любое число слагаемых a(b1 + b2 + ::: +

bk) = ab1 + ab2 + ::: + abk:

Замечание 2. Свойство 7) имеет смысл и для разности векторов 8a; b; c; a(b c) = ab ac:

8) Только нулевой вектор ортогонален любому вектору.

18

18

(8x; ax = 0) =) (a = 0):

9) (8x; ax = bx) =) (a = b):

Замечание 3. Из вышесказанного следует, что скалярное умножение векторов имеет много общего с умножением чисел. Однако имеются и следующие существенные отличия:

1)при скалярном умножении векторов получается не вектор, а число,

2)скалярное произведение определено только для двух векторов,

3)равенство ab = 0 возможно даже если a 6= 0; b 6= 0

одновременно,

4) из равенства ac = bc при c 6= 0 не обязательно сле-

дует, что a = b (сокращение не всегда возможно).

§1.6. Координатное выражение скалярного

произведения двух векторов

Заметим, что если базис (i; j; k) ортонормированный,

то

i2 + j2 + k2 = 1; ij = ki = jk:

Поэтому, если даны векторы

a = xi + yj + zk; b = x0 i + y0 j + z0 k;

19

19

то, используя свойства скалярного произведения, получим

ab = (xi + yj + zk)(x0 i + y0 j + z0 k) = xx0 + yy0 + zz0 :

В частности, a2 = (xi + yj + zk)2 = x2 + y2 + z2:

Используя равенство a2 = jaj2; получим

p

p

jaj = a2 = x2 + y2 + z2:

предлагается условие скалярности и условие ортогональ-

Введем обозначения = (a; i); = (a; j); = (a; k):

Углы ; ; полностью определяют положение вектора a относительно базиса (i; j; k): Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора a они обладают следующим свойством:

cos2 + cos2 + cos2 = 1:

Действительно, с одной стороны, x = jajcos ; y = jajcos ; z = jajcos ; поэтому

x2 + y2 + z2 = jaj(cos2 + cos2 + cos2 ):

С другой стороны, x2 + y2 + z2 = a2 = jaj2: ч.т.д. Заметим, что координаты единичного вектора совпада-

ют с его направляющими косинусами

20

20