Алгебра нечётких чисел и её применение в инженерной практике. Препринт № 1-2013

СОДЕРЖАНИЕ

АЛГЕБРА НЕЧЁТКИХ ЧИСЕЛ...........................................................

4

1

Нечёткая арифметика: базовые принципы,

основные понятия и определения ................................................

4

2

Предпосылки появления алгебры нечётких чисел

и необходимость её разработки в нечётких

математических моделях.............................................................

12

3

Алгебра нечётких чисел..............................................................

24

3.1

Базовые понятия и определения

алгебры нечётких чисел.......................................................

25

3.2

Нечёткие отношения............................................................

27

3.3

Расширенные нечёткие операции

алгебры нечётких чисел.......................................................

29

3.4

Свойства нечётких операций алгебры нечётких чисел....

50

4

Решение задач строительства в нечёткой постановке..............

52

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ...................................................................................

59

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...................................................................

60

жество

Aɶ = (μAɶ (u ), u ) =

[uα ;

uα ], uα ≤

uα , u U

(U – универ-

α [ 0; 1]

сальное множество), α [0; 1] со следующими свойствами [1]:

∙

Aɶ

имеет

непустой

ограниченный

носитель:

supp (Aɶ)= {u : μAɶ

(u ) ³ 0} ¹ Æ;

u U

·

Aɶ –

квазивогнутое, если для любых u , u

2

ÎU , α Î[0; 1] , вер-

1

но неравенство μAɶ (αu1 + (1 -α ) u2 ) £ min (μAɶ

(u1 ) , μAɶ (u2 )) ;

·

характеристическая

функция

μAɶ (u ) , u U ,

полунепре-

рывная сверху;

или, эквивалентно,

·

[uα ;

uα ]

–

набор непустых выпуклых множеств для

α [ 0; 1]

всех значений α [0; 1] ;

·

[uα ;

uα ]

–

набор

замкнутых

и

ограниченных

α [ 0; 1]

(компактных) множеств для всех α [0; 1] ;

·

набор

множеств

[uα ;

uα ]

обладает

свойством

α [ 0; 1]

вложенности носителей: [u ;

] u ;

для всех α > β

u

u

и [u ;

] =

α

α

β

β

∩

u ;

для всех α [0; 1] .

u

u

β

α

α

β

β <α

Определение 1.1.2.

Нечёткое число Aɶ называется

положи-

тельным, если

для

всех

u < 0

μ ɶ (u) = 0 . Нечёткое

число

Aɶ

A

называется отрицательным, если для всех u > 0

μAɶ (u) = 0 .

Определение 1.1.3.

Принцип нечёткого обобщения Заде. Если

y = f (x1 , x2 ,¼, xn )

–

функция

от

n

независимых

аргументов

x1 , x2 ,¼, xn ,

которые заданы

нечёткими

числами

ɶ

ɶ

ɶ

x1

, x2 ,¼, xn

соответственно,

то

значением

функции

ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

y = f (x1 , x2 ,¼, xn )

y* = f ( x1* , x2*

,¼, xn* ) i =1,n

i

Шаг 1.

Зафиксировать значение y = y* .

Шаг 2.

Найти

все

наборы

элементов

(объёмом

n )

{x1,* j , x2*, j ,¼, xn*, j }, j =

1, P

,

удовлетворяющие условиям

ɶ

y

*

= f

*

*

*

*

), i = 1, n .

(x1, j

, x2, j

,¼, xn , j ) и

xi , j

Î supp (xi

Шаг 3.

Степень принадлежности элемента y*

нечёткому числу yɶ

вычислить по формуле μ

yɶ

(y* ) = max min (μ

xɶ

(x*

)).

j =1,P i =1,n

i

i , j

Шаг 4.

Проверить условие «Взяты все элементы y* ?». Если да, то

перейти к шагу 5, иначе зафиксировать новое значение y*

и перейти к шагу 2.

Шаг 5.

Конец.

ɶ

( ɶ

ɶ

ɶ

)

Для

вычисления

значений

функции

y = f

x1

, x2

,¼, xn

нечёткие аргументы дискретизируют, т. е. представляют

в виде

μxɶ

(xi,1 ) μxɶ (xi ,2 )

,¼,

μxɶ (xi,k

)

x =

i

,

i

i

, i = 1, n .

ɶ

i

xi ,1

xi,2

xi ,k

Количество

дискрет k выбирают так,

чтобы

обеспечить

ɶ

[

; xα ],

женных друг в друга α -сечений: x =

xα

где

xα , xα –

α [ 0; 1]

Определение 1.1.4.

α -уровневый

принцип

обобщения.

Если

y = f (x1 , x2 ,¼, xn )

–

функция

от

n

независимых

аргументов

=

x , i = 1, n , которые заданы нечёткими числами

ɶ

x

,

; x

x

i

i

i ,α

i ,α

α [ 0; 1]

то значением

функции

ɶ

ɶ

ɶ

,¼,

ɶ

нечёткое

y = f (x1

, x2

xn ) называется

ɶ

=

y ;

, где

y

число y

α

α

α [ 0; 1]

yα

=

xi ,α [

inf

f (x1,α , x2,α ,¼, xn ,α ),

(1.1.1)

xi ,α ,

=

xi ,α ], i =1,n

f (x1,α , x2,α ,¼, xn,α ).

sup

(1.1.2)

yα

xi ,α [

xi ,α ,

xi ,α ], i=1,n

Применение

α -уровневого принципа обобщения сводится к

Определение 1.1.5.

α -уровневый принцип обобщения при взаи-

модействующих аргументах. Пусть

y = f (x1 , x2 ,¼, xn ) –

функция

от

n

аргументов,

которые

связаны

соотношениями

g (x1 , x2 ,¼, xn ) = 0

и

h (x1 , x2 ,¼, xn ) > 0 . Значением

функции

ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

)

называется

такое

нечёткое

число

y = f ( x1

, x2

,¼, xn

ɶ

,

что

y =

y

α

, yα

αÎ[ 0; 1]

yα

=

inf

f ( x1,α , x2,α ,¼, xn,α ),

(1.1.3)

xi ,α Î[

xi ,α ,

xi ,α ], i =1,n

g (x1,α , x2 ,α ,¼, xn ,α )=0

h( x1,α , x2 ,α ,¼, xn ,α )>0

=

sup

f (x1,α , x2,α ,¼, xn,α ).

(1.1.4)

yα

xi ,α Î[

xi ,α ,

xi ,α ], i =1,n

g (x1,α , x2 ,α ,¼, xn ,α )=0

h( x1,α , x2 ,α ,¼, xn ,α )>0

ɶ

Для

двух

нечётких

чисел

x1 =

x1,α

,

x1,α

и

αÎ[ 0; 1]

ɶ

=

,

, имеющих

x2

x

2,α

x

2,α

форму

записи

в соответствии

с

ɶ

операции является нечёткое число

y =

y

α

,

yα .

αÎ[ 0; 1]

Арифметическая

yα

yα

операция

yɶ = xɶ1 + xɶ2

x1,α +

x

x1,α +

2,α

2,α

x

yɶ = xɶ1 − xɶ2

x1,α −

2,α

x1,α −

x

2,α

x

yɶ = xɶ1·xɶ2

x1,α ·

x

2,α

x1,α ·x2,α

yɶ = xɶ1 / xɶ2

x1,α /

2,α

x

x

x1,α /

2,α