Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра нечётких чисел и её применение в инженерной практике. Препринт № 1-2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

643 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

-1

A(xɶi

, −xɶj

) = A(−xɶj

, xɶi

), A(xɶi

, −xɶi

) = A(−xɶi

, xɶi

) = 0.

M (xɶi , xɶ-j 1 ) º

º M (xɶ-j 1, xɶi )

def

[1α ; 1α ] @

αÎ[0;1]

£ xi,α

= x j ,α ,

если xi @ x j : xj ,α = xi,α

т. е. [ x

;

] @ [ x

;

j,α

j ,α

i,α

,α

: xi

,α

= xj,α £ x j,α

= xi,α ,

или x j

@ xi

т. е. [ x

;

] @ [ x

;

]

j ,α

j,α

i,α

(i, j

Î , α Î[0; 1]);

ɶ ɶ

-1

ɶ-1

i,α

иначе M (xi , x j

) = M (x j

, xi

) =

;

αÎ[0;1] x j,α

xj ,α

Î ).

(i, j

i, j

γ1

ɶ-γ 2

ɶγ1

) ,

ɶ ɶ-1

) =

Для

любых

: M (xi

, x j

) = M (x j

, xi

M (xi , x j

xɶi

= M (xɶ-1, xɶ

) =

, M (xɶγ1 , xɶ-γ 2

) = M (xɶ-γ 2 , xɶ

γ1

) = xɶ

γ1 -γ 2 ,

M (xɶ-γ1 , xɶ

γ1 ) =

xɶ

ɶγ1

-γ1

)

Å ɶ ɶ

-1

ɶ-1

)

, где

1 ³

2 ³ 0 .

= M (xi

, xi

= 1

= M (xi

, xi

) = M (xi

, xi

ɶ ɶ

-1

Å ɶ-1

)

ɶ Å

ɶ ɶ-1

ɶ-1

M (xi

, x j

) = M (x j

, xi

> 0, M (xi

, xi

) = M (xi

, xi ) = 1.

Å	ɶ-1		) º
ɶ
M (-xi	, -x j
Å	ɶ-1				def
			ɶ	)	=
º M (-x j		, -xi

Для любых

[1α ; 1α ] @

αÎ[0;1]

: xj,α = xi,α £ xi,α = x j,α ,

если xi

@ x j

т.

е. [ xi,α ;

xi,α ] @ [ xj,α ;

j,α ],

или x j

@ xi : xi,α = xj,α £ x j,α = xi,α ,

е. [ xj,α ; x j,α ] @ [ xi,α ; xi,α ]

т.

(i, j Î , α Î[0; 1]);

-1

)

ɶ-1

иначе M (-xi ,

-x j

= M (-x j

, -xi ) =

(-x

)· -

;(-

)· -

i,α

x j ,α

i,α

xj ,α

αÎ[0;1]

i,α

;

i,α

(i, j Î ).

αÎ[0;1]

x j ,α

xj,α

i, j

ɶγ1

ɶ-γ 2

ɶγ1

) ,

M (-xi

, -x j

) = M (-x j

, -xi

-1

xɶi

− ɶγ1

−

ɶ-γ 2

− ɶ-γ 2

− ɶ

γ1

M (

−xɶi , −xɶj

) = M (−xɶj

, −xɶi ) = xɶ

M (

)

M (

)

1 -γ 2

-γ1

γ1

)

γ1

-γ1

) =

-1

) =

= xi

M (-xi

, -xi

= M (-xi

, -xi

1 = M (-xi

, -xi

ɶ-1

) ,

1 ³ 0 и

³ 0 .

где

= M (-xi

-xi

ɶ-1

ɶ ɶ

-1

ɶ-1

ɶ ɶ

M (-xi

, -x j

) = M (-x j

-xi ) = M (xi

, x j

) = M (x j

, xi ) > 0,

ɶ-1

)

ɶ-1

) =

M (-xi

, -xi

= M (-xi

, -xi

Для любого положительного нечёткого числа xɶiγ1 >ɶ 0ɶ , обрат-

ного положительного нечёткого числа xɶi−γ1 >ɶ 0ɶ , отрицательного нечёткого числа -xɶiγ1 <ɶ 0ɶ , обратного отрицательного нечёткого

числа

−γ1

где

i Î , γ1 ³ 0 ,

справедлива

операция нуль-

-xi

< 0 ,

умножения

через

двуместный

функциональный

оператор

M ( yɶ1 , yɶ2 ) :

ɶ ɶ

1 ɶ

γ1

, 0) @

M (1, 0) @ M (0,1) @ M (xi

, 0) @ M (0, xi

) @ M (-xi

γ1

−γ1 ɶ

−γ1

, 0) @

@ M (0, -xi

) @ M (xi

, 0) @ M (0, xi

) @ M (-xi

−γ

ɶ def ɶ

)

@ M (-1, 0) @ M (0, -1) @ M (0, 0) = 0 (i Î , γ1 ³ 0).

@ M (0, -xi

Для любого положительного нечёткого числа

x j

0 , отрица-

тельного нечёткого числа

-xi

0 , положительного обратного не-

чёткого числа

−1

отрицательного обратного нечёткого числа

x j

> 0 ,

−1

где

i, j , справедлива операция умножения вперёд

-xi

< 0 ,

def

через

двуместный

функциональный

оператор

M ( y1

, y2 ) =

def

;

·y

, операция умножения назад через дву-

1,α

2,α

1,α

2,α

α [0;1]

def

местный

функциональный

оператор

M ( y1

, y2 ) =

def

·y

; y

·y

1,α

2,α

1,α

2,α

α [0;1]

M (−xɶ

, xɶ

)

(−

)·

; (− x

)·x

j,α

j ,α

i,α

α[0; 1]

−(

); − (x

·x

(xɶ

,xɶ

) = −M

j,α

j ,α

i,α

α[0;1]

−(

); − (x

·x

)

(xɶ

,xɶ

),где i, j .

= −M

j ,α

,α

j,α

i,α

α[0; 1]

−

ɶ−1

−1

−

M (

)

, x

;

i,α

j ,α

i,α

α[0;1]

j ,α

= −M (xɶ−1

,xɶ−1

−

; −

,α

j,α

,α

j ,α

α[0;1]

−1

−1 ), где i, j .

−

; −

= −M (xɶ

, xɶ

j,α

i,α

j,α

i,α

α[0; 1]

, −xɶ

·(−

·(− x

)

M (xɶ

)

); x

j ,α

j,α

i,α

α[0;1]

= −M (xɶj ,xɶi )=

− (x j ,α ·xi,α ) ; − (xj,α ·xi,α )

α[0;1]

−(

); − (x

·x

)

(xɶ

,xɶ

),где i, j .

= −M

,α

j,α

,α

j,α

α[0; 1]

−1

−

ɶ−1

−

)

;

M (x

α[0;

j,α

i,α

j,α

i,α

−1

,xɶ−1 )=

−

;

−

= −M (xɶ

j,α

i,α

j ,α

i,α

α[0;1]

= −M (xɶ−1 , xɶ

−1 ), где i, j .

−

; −

x x

α[0;

i,α

j,α

i,α

j,α

ɶ ɶ	ɶ	ɶ		ɶ ɶ	ɶ

Для любых i, j : M (-1,1)	= M (1,	-1)	= -M (1,1)		= -1

γ1

(при γ1 = 0

γ2

= 0 ),

,1) =

M (-1, xi

) = M (xi

, -1) = -M (xi

γ1

)

γ1

−γ1

= −M (1, xɶi

= −xɶi

M (−xɶi

,1)

= M (1,

−xɶi

) = −xɶi

−γ1

)

−γ1 ɶ

−γ1

(при

= −M (1, xɶi

= −M (xɶi

,1) = M (−1, xɶi

) = M (xɶi

, −1)

γ1 > 0

γ2 = 0 ),

ɶγ1

γ2

)

ɶγ2

ɶγ1

)

M (-xi

, x j

º M (x j

, -xi

ɶγ1

ɶγ2

)

ɶγ2

ɶγ1

−γ1

ɶ−γ1

−γ1

)

= -M (xi

, x j

º -M (x j

, xi

M (-xi

, xi

) = M (xi

-xi

ɶ−2γ1

ɶ−γ1

−γ1

−γ2

ɶ−γ2

−γ1

= −M

)

= −xi

(xi

, xi

M (-xi

, xi

) = M (xi

, -xi

−γ1

−γ2

ɶ−γ2

ɶ−γ1

ɶ−(γ1

+γ2 )

где γ1

³ 0 и γ2 ³ 0 .

)

= −M

)

= −M (xi

, xi

(xi

, xi

= −xi

)

M (-xi , x j

= -M (xi

, x j )

= -M (x j

, xi

) = M (x j ,

-xi

) < 0,

−1

)

−1

M (-xi

, x j

) = -M (xi , x j

= -M (x j

, xi

) = M (x j

, -xi

) < 0.

Для любого положительного нечёткого числа xi

0 , отрица-

тельного нечёткого числа

-xi

< 0 , обратного положительного не-

чёткого числа

−1

обратного отрицательного нечёткого числа

x j

> 0 ,

−1

где

i, j ,

справедлива операция отрицательного со-

-x j

< 0 ,

ставного умножения через составной условный двуместный функ-

циональный оператор M ( yɶ1 , yɶ2 ) :

	ɶ−1		)	º
ɶ
M (xi	, -x j
	ɶ−1					def
			ɶ		)	=
º M (-x j		, xi

[-1α ; -1α ]

@ -1,

α [0; 1]

= xi,α £ xi ,α

= x j ,α ,

если xi

@ x j : xj ,α

т. е. [ x

;

] @ [ x

;

j ,α

i ,α

= x

£ x

= x

или x

@ x : x

j ,α

i,α

т. е. [ x

;

] @ [ x

;

]

j ,α

i,α

α Î[0; 1]);

(i, j Î ,

−1

ɶ−1

иначе M (xi ,

-x j

) = M (-x j

, xi )

xi ,α

i,α

; -

(i, j Î ).

xj ,α

α [0; 1]

x j ,α

i, j :

γ1

ɶ−γ 2

γ1

) ,

Для

любых

M (xi

, -x j

) = M (-x j

, xi

ɶ−1

xɶi

ɶγ1

ɶ−γ 2

ɶγ1

M (xi

, -x j

) = M (-x j

, xi

) = -

, M (xi

, −xi

)

= M (−xi

, xi

) =

xɶj

= −xɶγ

1 −γ 2 ,

−γ1 , xɶγ1 )

, −xɶ−γ1 ) =

−xɶ−1 ) =

) =

M (−xɶ

= M (xɶγ1

M (xɶ ,

M (−xɶ−1, xɶ

= −1ɶ , где γ1 ³ 0 и γ 2 ³ 0 .

M (-xɶi , xɶ−1j ) º

º M (xɶ−1j , -xɶi )

[-1α ; -1α ] @ -1,

α[0; 1]

= xi,α £ xi,α = x j,α ,

если xi

@ x j : xj,α

т. е. [ x

;

] @ [ x

;

i,α

,α

j ,α

j,α

: xi,α = xj ,α £ x j,α = xi,α ,

def или x j

@ xi

= т. е. [ x

;

] @ [ x

;

]

j,α

j ,α

i,α

α Î[0; 1]);

(i, j Î ,

ɶ−1

иначе M (-xi

, x j

) = M (x j

, -xi ) =

xi,α

i,α

; -

(i, j Î ).

xj,α

α[0; 1]

x j ,α

ɶ−γ 2

−γ 2

γ1

) ,

Для

любых

M (-xi

, x j

) = M (x j

, -xi

ɶ ɶ

−1

) = -

xɶi

− ɶγ1

ɶ−γ 2

− ɶγ1

M (

)

M (-xi , x j

) = M (x j

, -xi

xɶj

, xi

M (xi

= −xɶ

1 ) = −1ɶ

, xɶ−1 ) =

γ1 −γ 2

M (xɶ

−γ1

−xɶγ1 ) = M (−xɶγ1 , xɶ

−γ

M (−xɶ

ɶ−1

− ɶ

1 ³

³ 0 .

M (xi

xi ) , где

ɶ ɶ−1

ɶ−1

)

−1

ɶ ɶ

M (-xi

, x j

) = M (x j

, -xi

= M (xi ,

-x j

) = M (-x j

, xi

) < 0.

При конкретных вычислениях возникают различные сочетания операторов, что порождает рекурсивные функции.

На основе выполненных исследований алгебры нечётких чисел разработан численный алгоритм для обобщённых операций сложения и умножения через условные функциональные операторы

A( fɶi , fɶj ) =

A( fɶj , fɶi )

M ( fɶi , fɶj ) =

M ( fɶj , fɶi )

для

произвольных

нечётких чисел fɶi

fɶj

(i, j Î ) произвольного знака и состоя-

ния (инверсного или «естественного»).

[0α ; 0α ]

def

@ 0,

если - fi

f j ;

A( fɶi , fɶj ) º A( fɶj , fɶi ) =

αÎ[0; 1]

(3.3.1)

)

иначе

A( fi

, f j

= A( f j , fi

ɶ ɶ

ɶ−1

M ( fi , f j ) = M ( f j , fi ),

если fi

f j

f j ;

> 0 и fi

ɶ−1

)

[1α ; 1α ]

>ɶ

если ( fi

0, f j

f j

α [0;1]

ɶ−1

или (

);

f j

< 0, f j

< 0 и fi

ɶ ɶ

ɶ−1

M ( fi , f j ) = M ( f j , fi ), если fi

f j

f j ;

M ( fɶi , fɶj ) ≡

< 0 и fi

ɶ−1

def M ( fi , f j ), если

f j

и − fi

f j ;

< 0,

> 0

≡ M ( fɶj , fɶi )

ɶ−1 ɶ

[−1α ; −1α ] −1, если ( fi

f j

− fi

f j )

> 0

α [0;1]

ɶ−1

или (

f j );

> 0, f j

< 0 и − fi

ɶ ɶ

ɶ−1

M ( fi , f j ), если

f j

и − fi

f j ;

> 0,

< 0

иначе M ( fɶi , fɶj ) = M ( fɶj , fɶi ),

когда fi

или f j

или ( fi

f j

0).

Фактическое невыполнение строгого равенства в свойствах 6

ɶ ɶ

- x2

( x1·( x2

- x3 ) ¹ x1 ·x2

- x1 ·x3 )

xɶ3

·( x1 - x2 ) ¹

	xɶ1		xɶ2		1	ɶ		1	ɶ
¹ xɶ3		- xɶ3
				= xɶ3 ·x1			- xɶ3 ·x2			нечёткой арифметики, разобранных ав-

томатическим решателем, должно быть рационально и адекватно разрешено следующим способом назначения:

x1·( x2

- x3 )∩x1

·x2

- x1

·x3

@ x1

(·x2

- x3 ) ,

т. к.

;

·( x2 - x3 ) Í x1 ·x2

- x1

·x3

- x2

·( x1

- x2 )

∩

·x1

·x2

xɶ3

- x2

xɶ3

·( x1

- x2 ) ,

- x2

т. к.

·( x1 - x2 ) Í

·x1

·x2

xɶ3

Для реализации автоматического анализатора и решателя с целью получения унифицированной системы в реальных расчётах дополняем формулу (3.3.1), вводя значимые уточнения:

, −xɶ

−xɶ

M (xɶ

, A(xɶ

)) M ( A(xɶ

), xɶ

fɶ

, xɶ

) >ɶ 0ɶ и fɶ

, xɶ

) <ɶ 0ɶ

если

M (xɶ

fɶ

<ɶ 0ɶ и fɶ

) >ɶ

0ɶ

ɶ ɶ

) ≡

или

M (xɶ

, xɶ )

M (xɶ , xɶ

;

A( fi , f j

≡

def

, −xɶ

, −xɶ ), xɶ

-1 ),

A( fɶj , fɶi )

= M (xɶ-1

, A(xɶ

)) M

( A(xɶ

fɶ

) <ɶ 0ɶ

если

M (xɶ-1 , xɶ ) >ɶ 0ɶ и fɶ

M (xɶ-1 , xɶ

fɶ

-1 , xɶ ) >ɶ 0ɶ

или

) <ɶ 0ɶ и fɶ

M (xɶ-1 , xɶ

M (xɶ

;

иначе A( fi

, f j )

A( f j , fi ).

3.4 Свойства нечётких операций алгебры нечётких чисел

Выполняются следующие свойства нечётких обобщённых арифметических операций алгебры нечётких чисел. Исходные нечёткие параметры представлены по α -уровневому принципу обобщения:

>ɶ

≤

( xi,α

1, 3).

xi,α , i

xi,α ; xi,α

αÎ[0;1]

Свойство 1.

A(xɶ1 , xɶ2 ) A(xɶ2 , xɶ1 )

–

переместительный (коммута-

тивный) закон сложения.

Свойство 2.

M (xɶ , xɶ )

–

переместительный (комму-

тативный) закон умножения.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]