Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра нечётких чисел и её применение в инженерной практике. Препринт № 1-2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

643 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

yɶ

;

1,α

;

1,α

5,α

α[ 0; 1]

α[ 0; 1] x3,α

3,α

+ x

1,α

2,α

;

1,α

2,α

α[ 0; 1]

3,α

x1,α

2,α

;

x1,α

x2,α

= yɶ4 ;

α[ 0; 1]

x3,α

3,α

yɶ

;

1ɶ

= xɶ

−1

;

6,α

α[ 0; 1]

x3,α

3,α

yɶ

;

= yɶ

·yɶ

·y

;

·y

7,α

6,α

1,α

6,α

1,α

α[ 0; 1]

·(

x1,α +

2,α ) ;

·(

x1,α +

2,α )

α[ 0; 1] x3,α

3,α

x1,α

2,α

;

x1,α

x2,α

= yɶ5 = yɶ4 ;

α[ 0; 1]

x3,α

3,α

yɶ

;

= yɶ

·xɶ

·x

;

·x

8,α

6,α

1,α

6,α

1,α

α[ 0; 1]

x1,α

x1,α ;

·x1,α

;

α[ 0; 1]

x3,α

3,α

α[ 0; 1]

x3,α

3,α

yɶ

;

= yɶ

·xɶ

·x

;

·x

9,α

6,α

2,α

6,α

2,α

α[ 0; 1]

2,α

2,α ;

·x2,α

;

α[ 0; 1]

x3,α

3,α

α[ 0; 1]

x3,α

3,α

yɶ

;

= yɶ

+ yɶ

+ y

;

10,α

8,α

9,α

8,α

9,α

α [ 0; 1]

1,α

2,α

;

1,α

2,α

= yɶ7 = yɶ5 = yɶ4 .

α [ 0; 1] x3,α

x3,α

3,α

То

есть

справедливо

тождество

xɶ1 + xɶ2

≡

xɶ1

xɶ2

≡

·( xɶ

+ xɶ

) ≡

xɶ

≡

·xɶ

xɶ

Свойство 8.

xɶ1 − xɶ2

·( xɶ

− xɶ

)

xɶ1

−

xɶ2

·xɶ

−

·xɶ

–

суб-

xɶ

дистрибутивный закон умножения относительно вычитания.

Доказательство. В силу правил, сведённых в таблицу 1, имеем:

yɶ

;

= xɶ

− xɶ

−

;

− x

;

1,α

2,α

1,α

2,α

α [ 0; 1]

x1,α

;

xɶ1

yɶ

;

x1,α

2,α

α [ 0; 1]

x3,α

3,α

xɶ2

2,α

;

yɶ

;

2,α

;

3,α

α [ 0; 1]

α [ 0; 1] x3,α

3,α

yɶ

;

= yɶ

− yɶ

−

;

− y =

4,α

2,α

3,α

2,α

3,α

α [ 0; 1]

1,α

−

2,α

;

1,α

−

2,α

;

α [ 0; 1]

3,α

1,α

5,α

; y5,α =

;

α [ 0; 1]

x3,α

3,α

- x

1,α

2,α

;

1,α

2,α

α [ 0; 1]

3,α

x1,α

2,α

x1,α

;

¹ y4

;

α [ 0; 1]

x3,α

3,α

1ɶ

−1

y6 =

6,α ; y6,α =

= x3

;

α [ 0; 1]

α [ 0; 1] x3,α

3,α

·y

7,α

; y7,α

= y6 ·y1

6,α

1,α

; y6,α ·y1,α

α [ 0; 1]

·(

x1,α -

2,α ) ;

·(

x1,α -

2,α )

α [ 0; 1] x3,α

3,α

x1,α

2,α

x1,α

;

= y5

¹ y4

;

α [ 0; 1]

x3,α

3,α

8,α

; y8,α

= y6 ·x1

6,α

·x1,α

; y6,α ·x1,α

α [ 0; 1]

x1,α

x1,α ;

·x1,α

;

α [ 0; 1]

x3,α

3,α

α [ 0; 1] x3,α

3,α

·x

9,α

; y9,α

= y6

·x2

6,α

2,α

; y6,α ·x2,α

α [ 0; 1]

2,α

2,α ;

·x2,α

;

α [ 0; 1]

x3,α

3,α

α [ 0; 1] x3,α

3,α

y10

10,α ; y10,α

= y8

- y9

8,α

- y9,α

; y8,α -

9,α

α [ 0; 1]

x1,α

2,α

α [ 0; 1]

2,α

x1,α

;

= y4 .

α [ 0; 1]

x3,α

3,α

x3,α

- x2

То есть

справедливы

отношения

·( x1

- x2 ) Í

xɶ

º xɶ

- xɶ

отметим,

·x1

·x2 .

качестве

следствия

что

- x2

·( x1

- x2 ) ¹

·x1

·x2 .

xɶ

3 Алгебра нечётких чисел

Применение нечёткой арифметики в строительных задачах показало, что во многих случаях мы имеем физически некорректные результаты в силу неединственности решений при стандартных упрощениях и преобразованиях аналитических выражений для искомых величин. При анализе этого явного факта по причине невы-

полнения некоторых свойств (например,	Xɶ	1ɶ и прочих), пред-
полнения некоторых свойств (например,	ɶ	1ɶ и прочих), пред-
	X

ставленных выше, стал необходим новый математический инструмент, преодолевающий означенные проблемы и явления и дающий физически адекватные решения и оценки. Данный инструмент был разработан и реализован. Для алгебры нечётких чисел введены нечёткие отношения и расширенные нечёткие бинарные операции, которые привели к выполнению тождественных равенств в основополагающих свойствах, что обеспечило согласованность результатов и физическую адекватность в расчётах.

3.1 Базовые понятия и определения алгебры нечётких чисел

Для начала необходимо ввести два базовых определения для понятий нулевого и единичного нечёткого числа: любое

xɶ

0ɶ x

= 0

(для

любого

α [0; 1] ),

т. е.

i ,α

i,α

= [0α ; 0α ]; любое

xi ,α ; xi ,α

xi,α = 1α

α [ 0; 1]

xi ,α = 1α (α [0; 1]),

т. е.

[1α ; 1α ], xi

= β =

α [ 0; 1]

здесь i = 1, n, n . Анализируя эти

[βα , βα ] >

0 (β = const) ,

α [ 0; 1]

выражения,

следует заметить,

что нечёткие числа

ɶ ɶ

имеют

0, 1,

синглтонную функцию принадлежности. Замечание: важно отметить, что параллельно с нулевым и единичным нечётким числом имеет место и использование их детерминированного вида ( 0 и 1),

т. е. ноль и единица в алгебре нечётких чисел имеют двойственное представление.

Определим класс (множество, пространство) положительных и отрицательных нечётких чисел. Любое положительное нечёткое

число ( xɶi >ɶ

имеет следующий вид:

0, i = 1, n, n )

x =

; x

i ,α

α [ 0; 1]

(3.1.1)

(0 <

≤

xi ,α , i =

, n , α [0; 1]).

xi ,α

1, n

Всякое отрицательное нечёткое число

−xɶj задаётся следующим

выражением (

j = 1, n, n ):

xɶj >

-x j

= -x j ,α

; - xj ,α

α[ 0; 1]

(3.1.2)

j ,α £ -

< 0, j =

, n Î , α Î[0; 1]).

j ,α

1, n

Сравнение характеристик положительного (выражение (3.1.1)) и отрицательного (выражение (3.1.2)) нечёткого числа наглядно показывает, что функции принадлежности этих нечётких чисел будут отображаться зеркально, сохраняя симметричность относи-

тельно 0ɶ .

Введём правило нахождения обратного (инверсного) нечёткого числа к положительным и отрицательным нечётким числам, носители которых ограничиваются, чтобы исключить неопределённое деление на 0 . Для любого положительного нечёткого числа

( xɶ1 >ɶ 0ɶ) это правило будет выглядеть следующим образом:

ɶ−1

1ɶ

;

(3.1.3)

α [ 0; 1] x1,α

x1,α

α [ 0; 1] x1,α

x1,α

(0 <

x1,α

x1,α , α Î[0, 1]).

ɶ− β

1ɶ

Для любого

³ 0 : x1

= ɶβ

;

α [ 0; 1]

x1,α

(3.1.4)

º 1, 0

< x

, α Î[0, 1], β ³ 0 - любое).

1,α

Для любого отрицательного нечёткого числа ( (− xɶ1 )

это пра-

< 0)

вило будет иметь следующий вид:

ɶ−1

1ɶ

-x1

= -

; -

(3.1.5)

α[ 0; 1]

x1,α

α[ 0; 1]

x1,α

(0 <

x1,α £

x1,α , α Î[0; 1]).

ɶ− β

1ɶ

Для любого

³ 0 : - x1

= -

ɶβ

; -

α[ 0; 1]

x1,α

(3.1.6)

(1 º 1, 0 < x β

, α Î[0; 1], β ³ 0 - любое).

1,α

= [1α ; 1α ]

ɶ0

x1,α ; x1,α

= 1.

α[ 0; 1]

ɶ1

x1,α

; x1,α =

x1,α ; x1,α = x1.

α[ 0; 1]

Очевидно, что из формул (3.1.3)

(3.1.4),

при

любом

β ³ 0 ,

α Î[0; 1]

и значениях x

³ 1,

³ 1, x β ³ 1,

³ 1, нечёткая опе-

1,α

рация инвертирования компактно представляет («упаковывает») функцию принадлежности нечёткого числа, сжимая её и нормируя,

а при	любом		β ³ 0 ,		α Î[0; 1]			и	остальных значениях
0 < x	£ 1, 0 <		£ 1, 0 < x	β	£ 1, 0 <		β	£ 1	наблюдается обратный
		x				x
1,α		1,α	1,α			1,α

эффект масштабного расширения. На практике, с технической точки зрения, нормирование математически эквивалентно обезразмериванию физических величин [3].

3.2 Нечёткие отношения

Для сравнения любых двух обобщённых нечётких чисел, запи-

санных в соответствии с определением 1.1.4:	ɶ	=				;
санных в соответствии с определением 1.1.4:	y1	=		y	1,α	;	y1,α	и
			α[ 0; 1]

yɶ	=		y		;			, необходимо ввести различные отношения по-
						y
2				2,α			2 ,α
	α[ 0; 1]
рядка		(нечёткие						отношения) через двухместные предикаты

(см. таблицу 3) для всех α -уровневых интервалов (носителей) данных нечётких чисел. В качестве следствия, используя различ-

ные парные сочетания нечётких чисел xɶ

−xɶβ

xɶ− β

−xɶ

− β

xɶ

ɶβ

ɶ− β

, где

i, j Î и

³ 0 ,

и представленные в таб-

-x j

x j

, -x j

лице 3 правила сравнения нечётких чисел, мы будем иметь сле-

ɶβ	ɶ ɶβ	ɶβ	ɶ ɶβ	– это означает, что при та-
дующие выражения: xi	< x j	º x j	> xi	– это означает, что при та-
кой записи нечёткое число		xɶβ	строго меньше xɶβ , т. е. на всех
		i		j
α -уровнях интервалы	xɶβ находятся абсолютно левее интервалов
	i
xɶβ , что эквивалентно тому,		что на всех α -уровнях интервалы xɶβ
j				j

находятся абсолютно правее интервалов xɶiβ , т. е. xɶβj строго боль-

ше xɶiβ ; во всех случаях, исходя из определения положительного и отрицательного нечёткого числа, будем иметь, что -xɶiβ <ɶ 0ɶ <ɶ xɶiβ ,

− ɶ

<ɶ

− β

− ɶ

− β

<ɶ

− β

x j

x j ,

-xi

< 0

< xi

x j

; xi

£ x j

º x j

³ xi

– xi

меньше или равно xɶ

или xɶβ

больше или равно xɶβ

в тех случаях,

когда на всех α -уровнях интервалы xɶβ

частично содержатся в ин-

тервалах

xɶ

или

полностью

совпадают

на

границах;

ɶβ

т. е.

отношение равенства для не-

@ x j

Û xi

Í x j

x j

Í xi

чётких чисел существует тогда, когда эти оба числа на всех своих α -уровнях интервально полностью содержатся друг в друге (носи-

тели полностью совпадают на всех α Î[0; 1] ).

3.3 Расширенные нечёткие операции алгебры нечётких чисел

Введём расширенные бинарные операции нечёткого умножения и нечёткого сложения, используя α -уровневый принцип обобщения Заде (определение 1.1.4). Для любых положительных нечётких чисел xɶi >ɶ 0ɶ , xɶj >ɶ 0ɶ и положительных обратных нечётких

чисел xɶi−1 >ɶ 0ɶ , xɶ−j 1 >ɶ 0ɶ , где i, j , справедлива операция положи-

тельного умножения через двуместный функциональный оператор

def

. Дополнительно, для любых от-

( yɶ

, yɶ

) =

·y

;

·y

1,α

2,α

1,α

2,α

α [ 0; 1]

рицательных нечётких чисел −xɶi

ɶ ɶ

и отрицательных об-

< 0

−xɶj < 0

ратных нечётких чисел −xɶi−1 <ɶ 0ɶ , −xɶ−j 1 <ɶ 0ɶ , где i, j , справедлива

операция сложения через двуместный функциональный оператор

def

+ y

( yɶ

, yɶ

)

;

1,α

2,α

1,α

2,α

α [ 0; 1]

(xɶ

, xɶ

) =

·x

;

·x

i ,α

j ,α

i ,α

j ,α

α [ 0; 1]

·x

;

(xɶ

,xɶ

),где i, j .

= M

·x

j ,α

i,α

j ,α

i ,α

α [ 0; 1]

Для

любых

i, j

γ1

ɶγ 2

ɶγ1

+γ 2

M (xi

, xi

) º M (xi

, xi

) = xi

γ1

2γ1

γ1

ɶ ɶ

ɶ2

)

, M (1,1) = 1

= 1 , где

M (xi

, xi

= xi

M (xi

,1) = M (1, xi

= xi

γ1 ³ 0 и γ 2 ³ 0 .

Таблица 3 –

Правила сравнения нечётких чисел

(по всем α -уровням, на всех носителях нечёткого числа)

Выражение

Условное определение

для предиката

предиката

соответствующего

Примечание

для представленного

нечёткого

нечёткого отношения

отношения

для всех α [0; 1] :

yɶ1 находится

L( y1

, y2 )

£ y

< y

2,α

£ y

2,α

строго левее yɶ2

1,α

º y1

< y2

т. е. [ y

;

]

<ɶ [ y

2,α

;

2,α

] ,

или yɶ2 нахо-

1,α

= R( y2 , y1 ) º

или y2,α

³ y2,α

> y1,α

³ y1,α

дится строго

º y2

> y1

т. е. [ y

;

] >ɶ [ y

;

]

правее y1 на всех

2,α

1,α

α -уровнях.

для всех α [0; 1] :

yɶ1 находится

R( y1 , y2 )

³ y

> y

2,α

³ y

строго правее yɶ2

1,α

2,α

º y1

> y2

т. е.[ y

;

]

>ɶ [ y

2,α

;

2,α

] ,

или yɶ2 нахо-

1,α

= L( y2

, y1 ) º

или y2,α

£ y2,α

< y1,α

£ y1,α

дится строго ле-

º y2

< y1

вее y1 на всех

т. е. [ y

] <ɶ [ y

2,α

; y

2,α

; y

]

1,α

α -уровнях.

yɶ1 находится ле-

LEQ

для всех α [0; 1] :

вее yɶ2 или yɶ2

( y1 , y2 ) =

= y2,

находится правее

y1,

= y1

£ y2

yɶ1 , частично пе-

или y

< y

= REQ( y2

, y1 ) =

1,α

2,α

1,α

2,α

ресекаясь или

т. е. [ y

;

] ≤ɶ [ y

;

]

= y2

³ y1

1,α

2,α

совпадая на гра-

нице, на всех

α -уровнях.

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]