Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра нечётких чисел и её применение в инженерной практике. Препринт № 1-2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

643 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Таблица 2 – Популярные параметрические функции принадлежности

Наимено-

Интерпретация

вание

Аналитическое выражение

параметров

функции

(a, c)

– носитель нечёт-

кого множества (песси-

0, u £ a или u ³ c

- a

мистическая оценка не-

Треуголь-

μ (u ) =

, a < u £ b

чёткого числа);

ная

- a

b –

координата

макси-

c - u

, b < u

< c

мума

(оптимистическая

оценка нечёткого чис-

- b

ла).

0, u £ a или u ³ d

(a, d ) – носитель не-

u - a

чёткого множества (пес-

, a < u £ b

симистическая

оценка

Трапецие-

μ (u ) = b

- a

нечёткого числа);

видная

1, b £ u £ c

[b, c]

– ядро нечёткого

d - u

, c £ u

£ d

множества (оптимисти-

ческая оценка нечёткого

- c

числа).

(u - b)2

b – координата макси-

Гауссова

мума;

μ (u ) = exp

–

коэффициент кон-

центрации.

a – коэффициент кру-

Сигмоид-

μ (u ) =

тизны;

ная

1 + exp (-a (u - c ))

c – координата перехо-

да через 0,5.

Синглтон-

μ (u )

1, u = a

– чёткое число, пред-

ставляемое в виде не-

ная

0, u ¹ a

чёткого множества.

2 Предпосылки появления алгебры нечётких чисел

инеобходимость её разработки

внечётких математических моделях

Описание любых физических процессов может производиться в терминах операций (наблюдений, экспериментов), связывающих физические объекты. При этом на практике вследствие чрезмерной сложности подлинных физических явлений, ситуаций и комплексных процессов требуется приемлемое упрощение фактических описаний с помощью словесных, символических и даже физических моделей, которые отображают подходящим образом выбранные существенные свойства физических объектов и позволяют абстрагироваться от связанных с ними динамических факторов.

Нечёткие математические модели представляют собой об-

ширный класс абстрактных (символических) математических объектов, таких как нечёткие числа или их наборы в виде кортежей (наборов) функций принадлежности, и нечёткие отношения между этими объектами.

Нечёткое математическое отношение – это гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта. Многие отношения могут быть описаны при помощи нечётких математических операций, связывающих один или несколько объектов (операнд, операнды) с другим объектом или множеством объектов (результатом операции). Абстрактная модель с её объектами произвольной природы, отношениями и определениями задаётся непротиворечивым набором правил (определяющих аксиом), вводящих операции, которыми можно пользоваться, и устанавливающих общие отношения между результатами (аксиоматическое определение математической модели с помощью её свойств). Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими понятиями (например, в рамках нечёткой логики определение нечёткой меры как интегральной характеристики от нечётких параметров).

Доказательство непротиворечивости аксиоматического определения осуществляется за счёт построения конструктивного примера, удовлетворяющего определяющим аксиомам (конструктив-

ное доказательство существования). Кроме того, обычно вводят дополнительную проверку на взаимную независимость определяющих аксиом.

Математическая модель способна воспроизводить подходящим образом выбранные стороны физически реальной ситуации, если возможно установление правил соответствия, связывающих специфические объекты и отношения с определёнными математическими объектами и отношениями. Интересным для исследований также может быть и построение математических моделей, которые

вфизическом мире не имеют аналогов, но проведение проверок их адекватности будет играть ключевую роль. Среди классических детерминистических математических моделей широкой известностью обладают системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия. Определяющие свойства этих моделей представляют собой более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счёт, упорядочение, сравнение, измерение).

Нечёткие объекты и нечёткие операции самых общих математических моделей часто ассоциируются с множествами нечётких чисел и набором лингвистических переменных, которые могут быть соотнесены с фаззифицированными результатами физических измерений.

Вданной работе далее рассмотрены свойства нечётких арифметических операций и приведены их фактические доказательства,

впроцессе которых обнаружены особенности стандартной нечёткой арифметики и аспектов её практического применения, приводящие к физически неинтерпретируемым результатам из-за разных решений задачи в нечёткой постановке при использовании различных аналитических выражений для искомых величин. Это послужило предпосылками появления алгебры нечётких чисел, в которой устранена неединственность решений, возникающая в физических

и технических задачах, и достигнуто выполнение тождественных равенств в основополагающих свойствах.

Введём по α -уровневому принципу обобщения (α [0; 1] ) не-

чёткие числа xɶi

xɶi

где i

=1, 3

–

установленные индексы:

³ 0,

≤

), где i =

;

1, 3.

i ,α

i,α

i ,α

α [ 0; 1]

Первое, с чем приходится сталкиваться при использовании не-

чёткой

арифметики –

это

очевидные

результаты

xɶ1

1ɶ и

xɶ

− xɶ

0ɶ

, выявленные при описании нечёткой величины

xɶ , за-

даваемой

несинглтонной

функцией

принадлежности

[βα ; βα ]α , β >

x1 ¹

0 :

α [0;1]

− x

; x

− x

1,α

1,α α

α [ 0; 1]

xɶ1

x1,α

x1,α ≤ x1,α ,

;

xɶ1

1ɶ

xɶ1

α [ 0; 1]

x1,α

x1,α α

и xɶ

− xɶ

0ɶ

только в том случае,

если

xɶ

имеет синглтон-

xɶ1

ную функцию принадлежности (для всех α [0; 1] :

x1,α

x1,α ).

Приведём в качестве замечания следующие следствия:

xɶ1·xɶ2

x1,α ·x

2,α

;

x1,α

·x

;

2,α

2,α α

xɶ1

x1,α

α [ 0; 1]

xɶ

+ xɶ

+ x

1,α

2,α

;

1,α

2,α

α [ 0; 1]

x1,α

+ x

x +

; 1 +

;

1,α

= 1ɶ+

ɶ .

2,α

1,α

2,α

α [ 0; 1]

x1,α α

α [ 0; 1]

x1,α

Ниже представлен список основных проверенных свойств нечёткой арифметики:

Свойство 1.	xɶ1 + xɶ2 = xɶ2 + xɶ1		– переместительный (коммутатив-
ный) закон сложения.
Свойство 2.	xɶ1·xɶ2 = xɶ2 ·xɶ1	–	переместительный (коммутативный)
закон умножения.
Свойство 3.	( xɶ1 + xɶ2 ) + xɶ3	= xɶ1 + ( xɶ2 + xɶ3 ) = xɶ1 + xɶ2 + xɶ3 – сочета-

тельный (ассоциативный) закон сложения.

Свойство 4.	( xɶ1·xɶ2 )·xɶ3 = xɶ1 ·( xɶ2 ·xɶ3 ) = xɶ1	xɶ·2 xɶ·3	– сочетательный (ас-
социативный) закон умножения.
Свойство 5.	xɶ1·( xɶ2 + xɶ3 ) = xɶ1 ·xɶ2 + xɶ1 ·xɶ3	= ( xɶ2	+ xɶ3 ) ·xɶ1 = xɶ2 xɶ·1 + xɶ3 xɶ·1 –

распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения.

Свойство 6.

xɶ1·( xɶ2 − xɶ3 ) xɶ1 ·xɶ2 − xɶ1 ·xɶ3

–

субдистрибутивный

за-

кон умножения относительно вычитания.

Свойство 7.

xɶ1 + xɶ2

xɶ1

xɶ2

·( xɶ

+ xɶ

) =

·xɶ

–

рас-

xɶ

пределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения.

Свойство 8.	xɶ1 − xɶ2	=	1	·( xɶ	− xɶ	)	xɶ1	−	xɶ2	=	1	·xɶ	−	1	·xɶ		– суб-
	xɶ		xɶ				xɶ		xɶ		xɶ			xɶ
				1	2							1				2
	3	3				3		3		3			3

дистрибутивный закон умножения относительно вычитания.

Анализ показал невыполнение строгого равенства в свойствах 6 и 8, которое иллюстрируется примерами: xɶ1·(xɶ2 - xɶ3 ) ¹ xɶ1 ·xɶ2 - xɶ1 ·xɶ3

1 ɶ

- x2

·(x1

- x2 ) ¹

·x1

·x2

, что существенно за-

xɶ

трудняет использование нечёткой арифметики в реальных расчётах, адекватных физическим и математическим постановкам. Доказательства сформулированных свойств приводятся далее.

Обозначим результаты вычисляемых выражений yɶj , а аргу-

менты в данных выражениях xɶi (произвольные нечёткие числа).

Запишем эти нечёткие величины с использованием α -уровневого принципа обобщения в следующем виде:

; x

, x

£ x

, где i = 1, 3;

аргументы x

i ,α

i,α

i ,α

α [ 0; 1]

; y

, y

£ y

, где j = 1,10.

выражения y

j ,α

α [ 0; 1]

–

переместительный (коммутатив-

Свойство 1. x1

+ x2

= x2 + x1

ный) закон сложения.

Доказательство. По известным правилам, приведённым в таблице 1, получаем:

y =

; y = x + x =

x + x ; x

+ x =

1,α

2,α 1,α

2,α

α [ 0; 1]

= x

+ x ,

x + x ; x

+ x

2,α

1,α 2 ,α

1,α

α [ 0; 1]

т. е. справедливо тождество xɶ1 + xɶ2 º xɶ2 + xɶ1 .

Свойство 2. xɶ1·xɶ2 = xɶ2 ·xɶ1 – переместительный (коммутативный)

закон умножения.

Доказательство. По правилам, оформленным в таблице 1, получаем:

y =

; y = x ·x =

x ·x

;x ·x =

ɶ ɶ

1,α

2,α 1,α 2,α

α [ 0; 1]

·x

; x

·x

2,α

1,α

2,α

1,α

α [ 0; 1]

т. е. справедливо тождество xɶ1·xɶ2 ≡ xɶ2 ·xɶ1 .

ɶ	ɶ	ɶ	ɶ	ɶ	ɶ	ɶ	ɶ	ɶ	–	сочета-
Свойство 3. (x1	+ x2 )+ x3		= x1	+ (x2	+ x3 ) = x1		+ x2	+ x3	–	сочета-

тельный (ассоциативный) закон сложения.

Доказательство. В силу правил, представленных в таблице 1, имеем:

y =

; y = (x + x

)+ x =

1,α

α [ 0; 1]

+ x

)+ x

; (

1,α

2,α

3,α

1,α

2,α

3,α

α [ 0; 1]

); x + (x + x

)

= x + (x + x

) =

x + (x + x

1,α

2,α

3,α

1,α

2,α

3,α

α [ 0; 1]

x + x

+ x ; x + x + x

= x + x + x ,

1,α

2,α

3,α 1,α

2,α

3,α

α [ 0; 1]

т. е.

справедливо

тождество

(x1 + x2 )

+ x3

≡ x1

+ (x2

+ x3 ) ≡

≡ xɶ1 + xɶ2 + xɶ3 .

ɶ ɶ ɶ	ɶ	ɶ	ɶ	ɶ	ɶ	ɶ	–	сочетательный (ас-
Свойство 4. (x1·x2 )·x3	= x1	·(x2	·x3 ) = x1		x·2	x·3	–	сочетательный (ас-

социативный) закон умножения.

Доказательство. В силу проверенных правил, оформленных в таблице 1, получаем:

y =

y ; y

= (x ·x

)·x =

1,α

α [ 0; 1]

·x

)·x

;(

)

·x

1,α

2,α

3,α

1,α

2,α

3,α

α [ 0; 1]

) ;x ·(x ·x

)

= x

(·x x·

) =

x ·(x ·x

1,α

2,α

3,α

1,α

2,α

3,α

α [ 0; 1]

ɶ ɶ

·x

= x x·

x· ,

1,α

2,α

3,α

1,α

2,α

3,α

α [ 0; 1]

т. е. справедливо тождество (xɶ1·xɶ2 )·xɶ3 ≡ xɶ1 ·(xɶ2 ·xɶ3 ) ≡ xɶ1 xɶ·2 xɶ·3 .

Свойство 5.	ɶ ɶ	ɶ	ɶ ɶ	ɶ ɶ	ɶ	ɶ ɶ	ɶ ɶ	ɶ ɶ	–
Свойство 5.	x1·(x2	+ x3 ) = x1 ·x2		+ x1 ·x3	= (x2	+ x3 ) ·x1	= x2 x·1	+ x3 x·1	–

распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения.

Доказательство. В силу правил, сведённых в таблицу 1, имеем:

y =

y ; y

= x + x =

x + x

; x + x ;

1,α

2,α

3,α

2,α

3,α

α [ 0; 1]

;

; y

·x

= x ·x

2,α

1,α

2,α

1,α

2,α

α [ 0; 1]

;

; y

·x

= x ·x

3,α

1,α

3,α

1,α

3,α

α [ 0; 1]

yɶ

;

= yɶ

+ yɶ

+ y

;

4,α

2,α

3,α

2,α

3,α

α[ 0; 1]

( x

·x

) + ( x

·x

); (

) + (

) ;

·x

1,α

2,α

1,α

3,α

1,α

2,α

1,α

3,α

α[ 0; 1]

yɶ

;

= xɶ

·yɶ

·y ;

·y

5,α

1,α

α[ 0; 1]

x ·( x

+ x

)

;

·(

) =

1,α

2,α

3,α

1,α

2,α

3,α

α[ 0; 1]

( x ·x

) + ( x ·x

)

;(

) + (

)

= yɶ

·x

1,α

2,α

1,α

3,α

1,α

2,α

1,α

3,α

α[ 0; 1]

То есть справедливо тождество xɶ1·( xɶ2 + xɶ3 ) ≡ xɶ1 ·xɶ2 + xɶ1 ·xɶ3 .

Свойство 6. xɶ1·( xɶ2 − xɶ3 ) xɶ1 ·xɶ2 − xɶ1 ·xɶ3 – субдистрибутивный за-

кон умножения относительно вычитания.

Доказательство. В силу правил, сведённых в таблицу 1, имеем:

yɶ

;

= xɶ

− xɶ

−

;

− x

;

1,α

2,α

3,α

2,α

3,α

α[ 0; 1]

= xɶ

α[ 0; 1]

yɶ

;

·xɶ

·x

;

·x

2,α

2 ,α

1,α

2,α

1,α

2,α

α[ 0; 1]

= xɶ

α[ 0; 1]

yɶ

;

·xɶ

·x

;

·x

3,α

1 3

1,α

3,α

1,α

3,α

α[ 0; 1]

yɶ

;

= yɶ

− yɶ

−

;

− y

4,α

2,α

3,α

2,α

3,α

α[ 0; 1]

α [ 0; 1]

( x · x

) − (

)

;(

) − ( x ·x

) ;

·x

1,α

2,α

1,α

3,α

1,α

2,α

1,α 3,α

α[ 0; 1]

ɶ ɶ

5,α ; y5,α

= x1·y1

x1,α

·y

1,α ;x1,α ·y1,α

α[ 0; 1]

·( x

) ;

·(

- x

) =

1,α

2,α

3,α

1,α

2,α

3,α

α[ 0; 1]

(

x1,α ·

2,α ) - (

x1,α

·x3,α )

;( x1,α ·x2,α ) - ( x1,α ·x3,α )

¹ y4

α[ 0; 1]

То есть

xɶ1·( xɶ2 − xɶ3 ) ≡ xɶ1 ·xɶ2

− xɶ1 ·xɶ3

формально не выполняется, но

справедливо отношение xɶ1·( xɶ2 − xɶ3 ) xɶ1 ·xɶ2 − xɶ1 ·xɶ3 .

1 ɶ

+ x2

Свойство 7.

·( x1

+ x2 ) =

·x1

·x2

–

рас-

xɶ

пределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения.

Доказательство. В силу правил, сведённых в таблицу 1, имеем:

;

= x

+ x

;

1,α

2,α

1,α

2,α

α[ 0; 1]

x1,α

xɶ1

2,α

; y2,α

;

α[ 0; 1]

x3,α

3,α

xɶ2

2,α

3,α

; y3,α

;

α[ 0; 1]

x3,α

3,α

4,α ; y4,α

= y2

+ y3 =

2,α +

3,α ; y2,α + y3,α

α[ 0; 1]

1,α

2,α

;

1,α

2,α

;

α[ 0; 1]

3,α

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]