Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра нечётких чисел и её применение в инженерной практике. Препринт № 1-2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

643 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

	Å	Å	Å	Å
Свойство 3.	A( A(xɶ1 , xɶ2 ), xɶ3 )		A(xɶ1 , A(xɶ2 , xɶ3 )) –		сочетательный
(ассоциативный) закон сложения.

Свойство 4.	M (M (xɶ1 , xɶ2 ), xɶ3 ) M (xɶ1 , M (xɶ2 , xɶ3 ))				– сочетатель-

ный (ассоциативный) закон умножения.

		Å	Å
Свойство 5.	M (xɶ1 , A(xɶ2 , xɶ3 )) A(M (xɶ1 , xɶ2 ), M (xɶ1 , xɶ3 ))
Å			Å
A(M (xɶ2 , xɶ1 ), M (xɶ3 , xɶ1 ))			M ( A(xɶ2 , xɶ3 ), xɶ1 )	– распределительный

(дистрибутивный) закон умножения относительно сложения.

		Å	Å
Свойство 6.	M (xɶ1 , A(xɶ2 , −xɶ3 ))		A(M (xɶ1 , xɶ2 ), −M (xɶ1 , xɶ3 ))
Å		Å
A(M (xɶ2 , xɶ1 ), −M (xɶ3 , xɶ1 )) M ( A(xɶ2 , −xɶ3 ), xɶ1 )				– распределитель-

ный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания.

		Å					), xɶ-1 )	Å						, xɶ-1 ))
Свойство 7.		M ( A(xɶ			, xɶ		), xɶ-1 )	A(M (xɶ			, xɶ	-1 ), M (xɶ		, xɶ-1 ))
			1		2		3		1		3		2	3
Å									Å
A(M (xɶ-1	, xɶ	), M (xɶ	-1	, xɶ		)) M (xɶ		-1	, A(xɶ	, xɶ		))	– распределитель-
3	1	3			2		3		1		2

ный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения.

		Å			−xɶ		Å					, xɶ-1 ))
Свойство 8.	M ( A(xɶ			,	−xɶ	), xɶ	-1 ) A(M (xɶ		, xɶ-1 ), −M (xɶ			, xɶ-1 ))
		2			3	1		2	1		3	1
Å								Å	, −xɶ
A(−M (xɶ-1	, xɶ ), M (xɶ		-1		, xɶ	)) M (xɶ-1		, A(xɶ	, −xɶ	))	– распредели-
1	3	1			2		1	2	3

тельный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания.

Автоматическая проверка справедливости этих свойств осуществлена экспериментально с использованием разработанных и реализованных численно-символьных алгоритмов.

Целесообразно отобразить следующие записи математических выражений, которые возможно доказать методом индукции:

x1	; x1		Å	, x1 ) = 2x1;		x1 +¼+ x1			= nx1 (n Î ).
x1	; x1	+ x1 ¬ A(x1		, x1 ) = 2x1;		x1 +¼+ x1			= nx1 (n Î ).
ɶ	ɶ	ɶ	ɶ	ɶ	ɶ	ɶ		ɶ		ɶ

						n
					ɶ2				ɶn	(n Î )
	ɶ	ɶ ɶ		ɶ ɶ	ɶ2	ɶ	ɶ		ɶn
	x ; x ·x		¬ M (x ,x ) = x			; x ·¼·x		= x
	1	1 1		1 1	1	1	1		1

Имеют место и справедливы также следующие операции с нечёткими числами:

Операция 1.

ɶα

ɶα +β

M (x

, x

) @ x

Операция 2.

ɶα

)

ɶα·β

= x

Операция 3.

ɶp

M (x, y)

= M (x

, y

Операция 4.

-1

ɶp

- p

M (x, y

)

= M (x

, y

Операция 5.

ɶp

-q

ɶp-q

M (x

, x

) = x

4 Решение задач строительства в нечёткой постановке

Алгебра нечётких чисел, позволяющая решать большой спектр физических и технических задач с неполными данными, обладающими высокой степенью неопределённости, реализована в виде пакета прикладных программ. Автоматическая проверка всех свойств и нечётких отношений осуществлена на задаче определения нечёткого отношения высоты растянутой зоны к высоте сжатой зоны

железобетонного образца ζɶ и на оценке момента трещинообразо-

вания Mɶcrc как нечёткой величины.

В работе [4] предложен новый метод построения нечётких аппроксимаций диаграмм деформирования материалов, в частности бетона. Нечёткие аппроксимации применяются к решению задачи о возникновении, стабилизации и росте трещин в нечёткой постановке. Методами кластеризации определены интерполяционные узлы аппроксимирующих функций как нечёткие величины, затем построены «функция-мажоранта» и «функция-миноранта». Разработан итерационный метод определения узлов интерполяции как нечётких величин. В качестве исходного материала использованы результаты экспериментальных исследований деформирования бетонных и железобетонных образцов – « восьмёрок» при центральном растяжении балок и при четырёхточечном изгибе.

Работа [5] посвящена построению и реализации алгоритма оп-

ределения изгибающего момента Mɶcrc , соответствующего возник-

новению трещины в железобетонном элементе в нечёткой постановке. Исходные данные для решения задачи представляются в виде нечётких величин, моды и носители которых определяются по результатам экспериментов.

Формулы для вычисления Mɶcrc и ζɶ (нечёткой величины) имеют вид:

ζɶ =

μɶ

αɶ

μɶ

2αɶ2

μɶ αɶ

Eɶ

Wɶ

Eɶ

;

εɶ

εɶbt

Bɶ

Aɶεɶbt

Eɶbεɶbt

ζɶ3

1ɶ

M crc

;

μs Esεbt

+ζ

+ζ )

·σɶ

ɶ2

(4.1)

crc

= M

crc

·b ·h

В расчётах использованы нечёткие величины и их дефаззифицированные значения методом центра тяжести, полученные в работе [4]:

Rɶbt = [0, 7197; 1, 0092]0 [0,82; 0,82]1;

Wɶ

−5

;

4, 3986·10

; 5, 721·10

5, 4797·10

; 5, 4797·10

εɶ

−5

;

= 7, 58·10

; 8,15·10

7, 95·10

; 7, 95·10

Eɶ

;

2, 4865·10

; 2, 7692·10

2, 7692·10

; 2, 7692·10

Aɶ =

−4, 3833·10 ; − 2, 4814·10

− 2, 9757·10

;− 2, 9757·10

Bɶ =

;

2, 6726·10

; 4, 2064·10

3,1242·10 ; 3,1242·10

= Rɶd

= (0,85, 0, 33);

Eb = Eɶbd

= (2, 675·104 , 0, 33);

(

)

(

)

−5

ɶd

ɶ d

, 0, 33

;

A =

;

W =W

= 5, 2·10

(

−3, 28·10 , 0, 33

(

−5

)

ɶd

)

= εɶ

, 0, 33 ;

= 7,893·10

B = B

3, 334·10 , 0, 33 .

В таблицах 4 и 5 и на рисунках 3 и 4 приводятся результаты определения параметров ζɶ и Mɶcrc и их дефаззифицированных значений ζ и M crc (методом центра тяжести [2]) для балки с размерами: b = 0,1 м ; h0 = 0,16 м ; l =1, 2 м .

В таблице 4 приведены значения нечётких величин ζɶ и Mɶcrc ,

полученных с применением алгебры нечётких чисел по формулам

(4.1), где исходными данными являлись нечёткие значения Rɶbt ,

Wɶrt , εɶbt , Eɶb , Aɶ , Bɶ . Расчёт выполнен для характерных коэффици-

ентов армирования.

Таблица 4

– Результаты расчётов для различных

значений

μs

с применением алгебры нечётких чисел

μs

ζɶ

Mɶcrc

ζɶ1

= [0, 489; 0, 633]0

Mɶcrc,1

0, 000

−3

; 2, 380 ×10

−3

[0, 560; 0, 560]1

= 1, 061×10

×10

−3

; 1, 502

×10

−3

1, 502

ζɶ2

= [0, 602; 0, 749]0

Mɶcrc,2

0, 005

−3

; 2, 312 ×10

−3

[0, 668; 0, 668]1

= 1, 089 ×10

×10

−3

; 1, 518

×10

−3

1, 518

ζɶ3

= [0, 721; 0,873]0

Mɶcrc,3 =

0, 010

−3

; 2, 292 ×10

−3

[0, 782; 0, 782]1

= 1,132 ×10

×10

−3

; 1, 558

×10

−3

1, 558

В первой колонке таблицы 5 приводятся дефаззифицирован-

ные значения (методом центра тяжести [4]) нечётких величин ζɶ и

Mɶcrc , найденных с использованием алгебры нечётких чисел. Де-

фаззификация проводилась на последнем этапе после определения нечётких величин ζɶ и Mɶcrc при разных коэффициентах армирова-

ния. Во второй колонке таблицы 5 приведены результаты решения задачи в чёткой постановке (определены величины ζ и M при разных коэффициентах армирования), где в качестве исходных

данных приняты дефаззифицированные значения нечётких величин

Rɶ

, Wɶ

, εɶ

, Eɶ

, Aɶ , Bɶ .

Таблица 5 –

Сравнение величин ζ и

M после дефаззификации

на различных этапах вычислений

Результаты решения задачи

Дефаззификация нечётких

в чёткой постановке

величин ζɶ

и Mɶ , найденных

при исходных данных −

с использованием алгебры

дефаззифицированных

значениях нечётких величин

нечётких чисел

Rɶ

, Eɶ

, εɶ , Wɶ

, Aɶ , Bɶ

ζ1 = 0, 560

M1 = 1, 648 ×10−3

ζ1 = 0, 559

M1 = 1, 592 ×10−3

ζ2 = 0, 673

M 2

= 1, 640 ×10−3

ζ2 = 0, 610

M 2

= 1, 654 ×10−3

ζ3 = 0, 792

M 3

= 1, 661×10−3

ζ3 = 0, 660

M 3

= 1, 721×10−3

Примечание:

ζ1 = ζ (μ = 0),

ζ2 =ζ (μ = 0, 005),

ζ3 = ζ (μ = 0, 01);

M1 = M (μ = 0),

M 2 = M (μ = 0, 005),

M3 = M (μ = 0, 01).

Расчётные функции принадлежности дают вполне приемлемые для практического использования в инженерной практике оценки момента трещинообразования. Интересным для практического применения является отношение моды нечёткой величины Mɶcrc

(значение момента, для которого функция принадлежности равна 1) к значению момента, соответствующего левой границе носите-

ля Mɶcrc (см. рисунок 4). Это отношение для всех значений коэф-

фициента армирования приближенно можно считать равным 1, 4 ,

соответственно обратное отношение ≈ 0,72. Полученные резуль-

таты доказывают возможность установить единый коэффициент запаса по моменту образования трещины.

Рисунок 3 – Кортеж функций принадлежности нечёткой величины ζɶ и их дефаззифицированные значения

Рисунок 4 – Кортеж функций принадлежности нечёткой величины Mɶ и их дефаззифицированные значения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработана алгебра нечётких чисел, устраняющая неединственность решений, которая возникает в физических и технических задачах при использовании существующей нечёткой арифметики. Показаны характерные особенности стандартной нечёткой арифметики и аспектов её практического применения, которые приводят к физически неинтерпретируемым результатам в физических и технических задачах. Для алгебры нечётких чисел введены нечёткие отношения и расширенные нечёткие бинарные операции, которые привели к выполнению тождественных равенств в основополагающих свойствах, что обеспечило согласованность результатов и физическую адекватность в расчётах.

Показан результат работы алгоритма определения изгибающего момента, соответствующего возникновению трещины в железобетонном элементе. Исходные данные для решения задачи представляются в виде нечётких величин, моды и носители которых определяются по результатам экспериментов.

Расчётные функции принадлежности дают вполне приемлемые для практического применения оценки момента трещинообразования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Stefanini L. Fuzzy Numbers and Fuzzy Arithmetic / L. Stefanini, L. Sorini, M. L. Guerra // Handbook of granular computing / eds. W. Pedrycz, A. Skowron, V. Kreinovich. – A John Wil ey & Sons, Ltd, Publication, 2008. – Р. 249–285.

2.Штовба С. Д. Проектирование нечётких систем средствами MATLAB / С. Д. Штовба. – М. : Горячая линия– Телеком, 2007. – 288 с.

3.RILEM TС QFS ‘Quasibrittle fracture scaling and size effect’ – Final report // Materials and Structures. – October 2 004. – Vol. 37. – Р. 547–568.

4.Адищев В. В. Применение кластерного анализа для построения нечётких аппроксимаций диаграмм деформирования бето-

на / В. В. Адищев, Д. С. Шмаков // Известия вузов. Строитель-

ство. – 2012. – № 4. – C. 60–71.

5.Адищев В. В. Определение момента образования трещины как нечёткой величины по экспериментальным данным / В. В. Адищев, Д. С. Шмаков // Известия вузов. Строительство. – 2012. –

№ 5. – C. 3–14.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]