Статистические методы контроля и управления качеством. Курсовое проектирование. Учебное пособие

Если на диаграмме имеются точки, лежащие в стороне от основной группы, они могут представлять собой либо результаты ошибок измерений или записи данных, либо обусловлены изменениями в условиях работы. Эти точки необходимо исключить из набора данных при проведении корреляционного анализа и обратить внимание на возможные причины их появления.

Анализ полученной диаграммы позволяет сделать следующий вывод: между анализируемыми переменными не наблюдается тесной взаимосвязи. Количественная оценка тесноты связи может быть определена при помощи корреляционного анализа.

С этой целью, как правило, рассчитывается коэффициент линейной корреляции rxy, который служит для количественной оценки линейной взаимосвязи.

31

Он равен отношению корреляционного моментаmxy к произведению стандартных отклонений случайных величин sx

и sy [6]

mxy rxy = s xs y .

Данный коэффициент является безразмерным и его абсолютная величина не превышает единицы |rxy| £ 1.

Для упрощения расчетов перепишем выражение для определения коэффициента линейной корреляции следующим образом:

n

Для облегчения расчета к таблице исходных данных добавим следующие столбцы: x2; y2, xy, а также итоговую строку

(табл. 11).

32

Окончание табл. 11

Следовательно, коэффициент линейной корреляции равен:

S (xy)= 18214,65 - (302,16 ×1807,21)/ 30 = 12,385 (% мас.)2;

S (xx)= 3112,15 - (302,16)2 / 30 = 68,732 (% мас.)2;

S (yy)=108881,66 - (1807,21)2 / 30 = 14,852 (% мас.)2;

Величина коэффициента линейной корреляции, равная 0,388, подтверждает предположение об умеренной тесноте взаимосвязи между выходом продукта и количеством катализатора.

Проверим гипотезу о значимости коэффициента линейной корреляции на уровне a = 0,05 на основе критерия Стьюдента.

Нулевая гипотеза Н0: rxy = 0.

Расчетное значение критерия Стьюдента

T = 0,388 × 30 - 2 = 2,225.

набл

1 - 0,3882

Критическое значение критерия tдвуст.кр (a;k ) определим с

использованием функции из библиотеки табличного процессора Microsoft Excel СТЬЮДРАСПОБР (вероятность; степени_свободы)

tдвуст.кр (a;k )= СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 30-2) = 2,048.

Так как 2,225 > 2,048, нулевую гипотезу отвергаем, что свидетельствует о значимости коэффициента линейной корреляции.

Следовательно, можно отыскать уравнение прямой линии регрессии. Известно [7], что выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X выглядит следующим образом:

33

yx - y = rxy sˆ y (x - x ). sˆ x

Определим выборочные средние и выборочные стандартные отклонения

sˆ y = y 2 - (y )2 = 3629,389 - 60,2402 = 0,729 % мас.

Подставим полученные значения в уравнение регрессии

yx - 60,240 = 0,388 0,729 (x -10,072) 1,514

или yx = 0,1226x + 59,078 .

Полученное уравнение позволит определить рациональное количество катализатора, используемого в химическом процессе, для достижения выхода продукта в пределах от 61 до 62 % мас.:

61 = 0,1226 х1 + 59,078,

62 = 0,1226 х2 + 59,078, х1 = 14,13 % мас., х2 = 19,48 % мас.

Следовательно, для достижения выхода продукта в пределах от 61 до 62 % мас. необходимо, чтобы количество катализатора, участвующего в химической реакции, составляло от 14,13

до 19,48 % мас.

34

Пример 8. Провести анализ влияния различных факторов на эффективность предварительной электрообработки диффузионного сока в свеклосахарном производстве на основе построения математической модели исследуемого процесса и определить рациональные условия проведения данного процесса. В качестве факторов, определяющих состояние объекта исследования, выбраны следующие:

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных, а также для исключения влияния физической природы фактора на отклик перейдем к кодированным значениям факторов с помощью преобразования

Ij – интервал варьирования; j – номер фактора.

Значения уровней факторов и интервалов варьирования приведены в табл. 12.

Таблица 12

35

При проведении математического моделирования исследуемого процесса важной является задача выбора вида модели. Как правило, наиболее просты модели в виде алгебраических полиномов. Выбор степени полинома зависит от решаемой задачи.

В данном случае необходимо определить рациональные условия проведения процесса электрообработки диффузионного сока, т. е. решить задачу оптимизации. Полином первой степени может предсказать направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации, потребует меньшего числа экспериментов для определения коэффициентов модели(т. к. число коэффициентов при этом невелико). Однако для более подробного описания области оптимума требуются полиномы более высоких степеней. В данном случае выберем полином второй степени.

Для получения модели в виде степенного ряда

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12 x1x2 + b13x1x3 + + b23x2 x3 + b11x12 + b22x22 + b33x32

использовалось полное факторное планирование.

Получение модели в виде полинома второй степени потребовало варьирования факторов на трех уровнях, таким образом, использовался план 33. При этом возможны проблемы с адекватностью модели, которые могут быть решены добавлением «звездных» точек и использованием других приемов.

Для оценки ошибки воспроизводимости экспериментов в каждой точке плана были поставлены параллельные опыты m = 3.

Матрица планирования эксперимента с указанием кодированных значений факторов и экспериментальных значений - от клика приведена в табл. 13. Для удобства математической обработки в матрицу введен вектор-столбец фиктивной переменной x0, принимающий во всех экспериментах значение +1.

Переход к кодированным значениям факторов позволил использовать в модели безразмерные переменные xj, в результате чего размерность коэффициентов bj стала совпадать с размерностью отклика.

36

Таблица 13

Прежде чем приступать к определению выборочных оценок коэффициентов математической моделиbj, необходимо определить дисперсию воспроизводимости эксперимента и дисперсию в каждой строке матрицы планирования.

Средняя оценка дисперсии среднего результата(или дисперсия воспроизводимости) равна

37

где i – номер эксперимента (номер строки матрицы планирования эксперимента); q – номер параллельного опыта в каждой строке плана; N – число экспериментов N = 33 = 27 с числом степеней свободы f = N (m – 1) или f = 27 × (3 – 1) = 54.

Дисперсии в каждой горизонтальной строке матрицы определятся следующим образом:

S 2(1) = S 2(2) = S 2(8) = S 2(11) = S 2(12) = S 2(19) = S 2(21) =

=S 2(27) = 1 (%)2; S 2(3) = S 2(5) = S 2(6) = S 2(7) = S 2(9) = S 2(10) =

=S 2(13) = S 2(14) = S 2(15) = S 2(17) = S 2(20) = S 2(22) = S 2(23) =

= S 2(24) = S 2(25) = S 2(26) = 0,335 (%)2; S 2(4) = S 2(16) = = 1,335 (%)2; S 2(18) = 2,335 (%)2.

Для проверки однородности дисперсий воспользуемся критерием Кохрена, равным отношению максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий,

G = S 2max .

N

å S 2i i =1

Расчетное значение критерия Кохрена Gнабл = 2,335 / 18,365 = = 0,13, табличное значение – Gтабл = 0,22 на уровне значимости a = 0,05 с числами степеней свободы f1 = N = 27 и f2 = m – 1 = 2.

Поскольку экспериментальное значение критерия не превышает табличного, гипотезу об однородности дисперсий принимаем.

Дисперсия воспроизводимости равна

S y2 = 0,68 (%)2.

Коэффициенты модели определим методом наименьших квадратов, при котором квадраты разностей между экспериментальными y и вычисленными по уравнению регрессии

38

значениями ˆy в i-й экспериментальной точке будут минимальными, т. е.

N

S = å(ˆyi - yi )2 ® min . i=1

Для определения оценок коэффициентов уравнения регрес-

сии bj необходимо взять частные производные ¶S и приравнять

¶b j

их к нулю, т.е. решить следующую систему уравнений:

Поскольку в данной матрице планирования эксперимента (см. табл. 13) не все столбцы ортогональны между собой, нельзя воспользоваться упрощенными выражениями для определения коэффициентов.

Полученную систему уравнений удобно представить в матричном виде

(X T X )B = X TY ,

где X – регрессионная матрица, содержащая N = 27 строк и k = 10 столбцов; k – число коэффициентов уравнения; B – стол-

средних значений).

Вектор оценок коэффициентов уравнения регрессии равен

B = (X T X )-1 X TY .

Произведем все необходимые вычисления при помощи табличного процессора Microsoft Excel.

39

Элементы регрессионной матрицыX запишем в массиве B3:K29 (табл. 14), причем столбцы равны значениям, записанным в матрице планирования эксперимента(см. табл. 13): столбец

B – x0; столбец C – x1; столбец D – x2; столбец E – x3; столбец F – x1×x2; столбец G – x2×x3; столбец H – x1×x3; столбец I – x12; столбец J – x22; столбец K – x32.

Таблица 14

Определяем транспонированную матрицу XТ (т.е. матрицу, в которой осуществлена замена строк на столбцы, а столбцов на строки) следующим образом:

1)выделяем область ячеек, где будет записан ответ, B38:AB47 (число строк равно 10, число столбцов равно 27);

2)в строке формул вводим знак =;

3)из полного алфавитного перечня функций выбираем функцию ТРАНСП;

4)выделяем массив, где содержатся элементы матрицы X;

5)одновременно нажимаем клавиши <Shift>, <Ctrl>, <Enter>.

Для умножения матриц XТ × X выполним следующее:

1) выделяем область ячеекB50:K59 под ответ с числом строк, как у матрицы XТ, и числом столбцов, как у матрицы X, т.е. матрицы 10 ´ 10 ячеек;

2)в строке формул вводим знак =;

3)из полного алфавитного перечня функций выбираем функцию МУМНОЖ;

40