Статистические методы контроля и управления качеством. Курсовое проектирование. Учебное пособие

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ ПОДРАЗДЕЛОВ КУРСОВОГО ПРОЕКТА

Пример 1. Определить методику отбора проб сахара-песка при производстве кондитерских изделий.

Правила приемки и методы отбора проб сахара-песка установлены в ГОСТ 12569-99 [10]. Среднюю пробу сахара отбирают от каждой партии (вагона), но не более чем от60 т. При поступлении партии большей массы отбирают отдельные пробы от каждых 60 т партии.

Средняя проба должна иметь массу0,8-1,3 кг. Для сахарапеска выделяют 5 % всех мешков и от выделенных мешков отбирают щупом, длина металлической части которого равна 200 мм, равные количества сахара из двух различных мест каждого мешка. Если партия сахара-песка меньше одного вагона, то процент мешков, от которых отбирают пробы, и количество отбираемого сахара увеличивают с таким расчетом, чтобы сохранить установленную массу средней пробы.

Средние пробы тщательно перемешивают, делят на две равные части и помещают в чистые и сухие полиэтиленовые пакеты или герметично закрывающиеся стеклянные банки. Одна из проб поступает на анализ, другая хранится для контроля [2].

Пример 2. Принято решение для оценки стабильности процесса производства сухого молока использовать контрольные карты Шухарта, использующие количественные данные(карты индивидуальных значений X и скользящих размахов R).

Так как для контрольных карт предполагается нормальное (гауссово) распределение значения показателя качества [9], необходимо определить основные параметры закона распределения такого показателя качества сухого молока, как массовая доля влаги, а также определить процент брака при условии, что массовая доля влаги должна быть ниже 4 %.

11

Результаты лабораторного анализа влажности сухого молока по выборкам из 60 последовательных партий представлены в табл. 2.

Таблица 2

Для решения воспользуемся табличным процессоромMicrosoft Excel. Данные контроля массовой доли влаги сухого молока поместим в ячейки А2:А61.

Рассортируем данные по возрастанию и сгруппируем их в виде восьми интервалов размеров. Обычно количество интерва-

лов равно n , где n – общее количество анализируемых данных.

В данном случае n = 60 = 7,7 » 8.

После подсчета частот попадания данных в интервалы, середин интервалов, а также частостей получим табл. 3.

Частость определим как отношение частоты попадания значений в определенный интервал к общему количеству измере-

ний ni n .

12

Среднее арифметическое значение xср массовой доли влаги

равно

влаги молока представлена на рис. 2. Предварительно она позволяет сделать вывод о том, что закон распределения данного параметра близок к нормальному закону.

с этой целью рассчитаем массив H2:H9 значений (xi – xср)2.

13

Для проверки гипотезы о нормальности закона распределения на уровне значимостиa = 0,1 необходимо воспользоваться критерием согласия c2 Пирсона.

Рис. 2. Гистограмма распределения массовой доли влаги молока

Сравним эмпирические ni (наблюдаемые) и теоретические n¢i (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты.

Критерий Пирсона представляет собой случайную величину, равную

c2 = å (ni - ni¢)2 , ni¢

которая при n®¥ стремится к закону распределенияc2 с k степенями свободы k = s – 1 – r, где r – число параметров предполагаемого распределения (для нормального закона r = 2).

14

Строим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости a:

Pr[c 2 > c 2кр (a; k )].

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством c 2 > c 2кр(a; k), а область принятия нулевой гипотезы – неравенством c2 < c2кр(a; k) [6, 7].

Вычислим значение критерия по данным наблюдений c 2набл. Предварительно рассчитаем теоретические частоты нормального распределения n¢i. С этой целью сформируем массив I2:I9 со значениями функции плотности нормального распреде-

=I2×E12×(D2-C2). Их округленные значения помещаем в массив

K2:K9.

Нанесем теоретические частости распределения(массив данных L2:L9) на гистограмму и покажем допустимые значения (поле допуска Т) и поле рассеяния параметра качестваw = 6 s

или 6 × 0,501 = 3,003 % (рис. 3).

Для расчета критерия c2набл вводим дополнительный массив

=СТЕПЕНЬ(E2-K2;2)/K2. Значение критерия содержится в ячейке M11 с формулой =СУММ(M2:M9).

Для приведенных исходных данных c2набл = 6,2. Правостороннюю критическую границу определим, ис-

пользуя функцию из библиотеки статистических функцийMicrosoft Excel ХИ2ОБР(0,1;5), где 0,1 – уровень значимости, 5 – число степеней свободы с учетом того, что число интервалов в выборке равно 8.

15

Рис. 3. Гистограмма распределения

Получилось следующее значение правосторонней критической границы: c2кр = 9,24 (ячейка M12). Правосторонняя критическая область (c2кр;+¥) или (9,24;+¥).

Результаты вычислений заносим в табл. 4.

16

Окончание табл. 4

Так как c2набл = 6,2 не попадает в критическую область, то гипотезу о том, что наблюдаемые значения показателя качества имеют нормальный закон распределения, не отвергаем.

Следовательно, для оценки стабильности процесса производства сухого молока следует применять контрольные карты Шухарта, использующие количественные данные (карты индивидуальных значений X и скользящих размахов MR).

Показатель качества – массовая доля влаги сухого молока всех рассмотренных партий попадает в интервал значений [xmin; xmax] (с погрешностью 0,27 %, которой обычно пренебрега-

ют), где

xmin = xср – 3 sˆ = 3,414 – 3 × 0,501 = 1,91 %; xmax = xср + 3sˆ = 3,414 + 3 × 0,501 = 4,92 %.

Не все значения полученного диапазона удовлетворяют заданным требованиям к качеству сухого молока, массовая доли влаги которого должна быть ниже 4 % (см. рис. 3). Для определения процента бракованной продукции воспользуемся функцией нормального распределения F(x), определяющей вероятность того, что случайная величинаX принимает значение, меньшее x,

т. е. F (x)= Pr[X £ x].

17

Функция из библиотеки статистических функцийMicrosoft Excel НОРМРАСП (x; среднее; стандартное_откл; интегральная) рассчитывает интегральную функцию распределения, если аргу-

мент интегральная =1.

Рассчитаем вероятность того, что массовая доли влаги молока будет меньшеx = 4 % в ячейке N12, в которую запишем формулу =НОРМРАСП(4;3,414;0,501;1). В результате получим 0,8791, что соответствует проценту годной продукции87,91 %. Следовательно, 12,09 % сухого молока имеет влажность, превышающую допустимое значение, и требует доработки.

Пример 3. Провести анализ стабильности технологического процесса производства шоколада. В результате контроля состава белка в шоколаде в течение 20 рабочих дней были получены следующие исходные данные (мгновенная выборка составила 4 измерения) табл. 5.

18

Поскольку контролируемый показатель качества изделия является количественным показателем, для оценки стабильности процесса воспользуемся контрольными картами Шухарта[9] для количественных данных.

Для данных карт предполагается нормальное распределение для вариаций внутри выборок(проверка нормальности закона распределения была выполнена в пункте2.2 пояснительной записки курсового проекта).

Карты для количественных данных отражают состояние процесса через разброс (изменчивость от единицы к единице) и через расположение центра(среднее процесса), поэтому они применяются и анализируются парами – одна карта для расположения и одна – для разброса. Используем пару X и R-карту.

Число выборок (подгрупп) равно k = 20.

Для каждой выборки вычисляем среднее значение X и рассчитываем размах R

X = X1 + X 2 + ...+ X n ; R = Xmax – X min, n

где n – объем выборки n = 4.

Все расчеты произведем с использованием табличного процессора Microsoft Excel, полученные значения занесем в табл. 6.

19