Малые колебания системы с одной степенью свободы. Методические указания к расчетно-графической работе по дисциплине «Прикладные задачи динамики твердо

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Кафедра теоретической механики и теории механизмов и машин

Ю.Л. ВЛАСОВ

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА»

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Оренбург 2004

Введение

Во многих областях современной техники часто возникают колебательные движения различных механических систем.

Колебания или, так называемые, вибрации машин и их деталей, при неблагоприятных обстоятельствах могут вызвать значительные деформации и напряжения и, как следствие, быстрый износ конструкций и их разрушение.

Вибрации возникают в результате динамического воздействия разнообразных факторов: они могут быть вызваны ударами и подвижными нагрузками, неуравновешенными частями машин, переменным давлением пара, газа, воды, ветра и т.д.

Теория колебаний механических систем – один из самых обширных и развитых разделов теоретической механики, имеющий большое прикладное значение.

В настоящее время особое значение приобретают различные виды колебаний автомобилей в связи с возрастанием их скорости движения.

Создание рациональных конструкций, а также специальных устройств – так называемых гасителей колебаний, широко применяемых в современной технике для механизации ряда производственных процессов, основаны на положениях, устанавливаемых теорией колебаний.

Изучение колебательных движений требует для рассмотрения широкого использования различных математических методов.

1 Общие положения

1.1 Малые колебания системы около положения равновесия

Если обобщенные координаты системы в положении равновесия принимать равными нулю, т.е. отсчитывают их от положения равновесия, то колебательным движением в общем случае можно считать такое движение, при котором все обобщенные координаты или часть из них принимают нулевые значения, по крайней мере, несколько раз.

Малые колебания системы представляют собой такое движение, при котором значения обобщенных координат и обобщенных скоростей в любой момент времени настолько малы, что их можно рассматривать как величины первого порядка малости.

Рассмотрим механическую систему, находящуюся под действием сил, имеющих потенциал. Такую систему сил называют консервативной.

Для консервативной системы уравнения равновесия сил имеют вид:

Q=− ∂П =0,

i∂qi

где П – потенциальная энергия механической системы, qi - iая обобщенная координата.

Следовательно, потенциальная энергия в положении равновесия достигает своего экстремального значения.

Состояние равновесия механической системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным.

Состояние равновесия механической системы называется устойчивым, если эта система, выведенная из положения равновесия, совершает колебания около этого положения.

Состояние равновесия механической системы называется неустойчивым, если при сколь угодно малом отклонении системы из положения равновесия она удаляется от этого положения и колебаний около этого положения не возникает.

Состояние равновесия механической системы называется безразличным, если при отклонении ее из этого положения она и новом положении может оставаться в состоянии равновесия.

Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия.

Строгое определение понятия устойчивого положения равновесия было дано А.М. Ляпуновым:

Равновесие системы называется устойчивым, если для всяких, как угодно малых положительных чисел ε1 и ε2 можно выбрать два других малых положительных числа η1 и η2, что при начальных возмущениях, удовлетворяющих условиям:

для каждой обобщенной координаты.

Достаточное условие устойчивости равновесия консервативной системы определяется теоремой Лагранжа-Дирихле:

если в положении равновесия консервативной системы с идеальными и стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Чтобы определить, устойчиво ли состояние равновесия в рассматриваемом положении системы, необходимо выяснить, имеет ли потенциальная энергия системы в этом положении минимум.

В том случае, если

то условие минимума будет выполнено.

Механическая система с одной степенью свободы в случае голономных, идеальных связей имеет одну обобщенную координату q и ее движение описывается одним уравнением Лагранжа второго рода:

где Т – кинетическая энергия системы; q – обобщенная координата;

Q – обобщенная сила.

1.2 Свободные колебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим малые колебания системы с одной степенью свободы под действием одних потенциальных сил, т.е. когда

Q = −∂∂Пq .

Считаем, что сил сопротивления и возмущающих сил нет. Такие колебания называются собственными, или свободными. Колебания считаются малыми, если при движении системы обобщенная координата и обобщенная скорость достаточно малы и в уравнении Лагранжа (1.1) можно пренебречь всеми членами второго и более высокого порядка относительно обобщенной координаты и обобщенной скорости. В случае малых колебаний системы получается линейное дифференциальное уравнение для обобщенной координаты q.

1.3 Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы

Для вывода из уравнения Лагранжа (1.1) дифференциального уравнения малых свободных колебаний следует разложить кинетическую и потенциальную энергии в ряды в окрестности положения равновесия системы, где q = 0.

Пусть система, на которую наложены голономные, идеальные и стационарные связи, состоит из N точек и движется вблизи положения равновесия. Ее кинетическая энергия

При сделанных допущениях о стационарных связях, радиус-вектор rk каждой точки системы зависит от времени только через обобщенную координату q, следовательно,

Подставив это значение в выражение кинетической энергии (1.2), получим:

Обозначив

А= ∑N mk ∂∂rqk 2 ,

k =1

получим выражение для кинетической энергии системы

Величина А, как и rk может зависеть только от обобщенной координаты q и не зависит от обобщенной скорости q. Разлагая А(q) в окрестности q = 0 в степенной ряд, имеем:

Здесь и дальше индекс 0 означает, что соответствующие величины следует вычислять при q = 0.

Так как рассматриваем весьма малые отклонения системы от положения равновесия, то в равенстве (1.3) ограничимся только первым постоянным членом А0, которое обозначим а.

Итак, выражение кинетической энергии после отбрасывания членов второго и более высокого порядка, можно представить в виде

Положительная постоянная а называется коэффициентом инерции. Обычно размерность коэффициента инерции совпадает или с массой, или с моментом инерции.

Потенциальная инерции системы П для стационарного силового поля и стационарных связей является функцией только обобщенной координаты q. Разлагая ее в степенной ряд в окрестности q = 0, получаем

Потенциальную энергию системы П в положении равновесия при q = 0 примем равной нулю. Величина (∂П/∂q)0 есть значение обобщенной силы Q в положении равновесия системы, которое равно нулю.

Так как в положении равновесия потенциальная энергия имеет минимум, что является достаточным условием устойчивости положения равновесия системы, то

Обозначим

c = ∂∂2 П2 . q 0

Постоянную с называют коэффициентом жесткости.

Таким образом, отбрасывая члены третьего и более высокого порядка, имеем:

Подставляя значения этих производных в уравнение Лагранжа второго рода (1.1), получим следующее дифференциальное уравнение малых свободных

то дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы в окончательной форме:

Постоянная величина k называется круговой, или циклической частотой колебаний.

Дифференциальное уравнение (1.7) является однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение следует искать в виде

q = eλt .

После подстановки этого выражения в уравнение (1.7) получаем характеристическое уравнение для (1.7):

λ2 + k 2 =0.

Это квадратное уравнение имеет два мнимых корня λ1,2 = ± ki.

На основе теории дифференциальных уравнений решение уравнения (1.7) можно представить в виде

Произвольные постоянные С1 и С2 определяются из начальных условий:

. .

при t =0; q =q0 , q =q0 ,

где q0 и q0 – начальные значения обобщенной координаты и обобщенной скорости.

Уравнение (1.10) – одна из двух основных форм выражения свободных колебаний системы.

Представим выражение для обобщенной координаты в другой, так называемой амплитудной форме:

q = Asin(kt +α) = Asinα cos kt + Acosα sin kt.

Из сравнения с (1.8) новые постоянные А и α через постоянные С1 и С2 выразятся формулами:

Подставляя в (1.11) вместо С1 и С2 их выражения через начальные значения, получаем:

Величину А называют амплитудой колебаний. Она представляет собой наибольшее отклонение обобщенной координаты от положения равновесия,

соответствующего значению q = 0. Обобщенная координата q изменяется в пределах от –А до +А.

Величина ϕ = (kt +α) называется фазой колебаний. Безразмерная постоянная α называется начальной фазой колебаний. Она является значением фазы колебаний (kt +α) при t = 0. Для определения начальной фазы α по начальным условиям можно использовать комбинацию двух ее тригонометрических функций из (1.12), т.е. соsα и sinα. По одной тригонометрической функции, например tgα, получится два различных значения для α.

Свободные колебания в амплитудной форме с учетом начальных условий можно представить в окончательной форме:

Движение системы, определяемое (1.10) или эквивалентной ему амплитудной формой (1.13), называется гармоническим колебанием. Гармоническими называются такие колебания, при которых обобщенная координата изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Уменьшением фазы на π/2 от синуса можно перейти к косинусу.

Промежуток времени τ, в течении которого механическая система совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. Так как обобщенная координата q изменяется по закону синуса, который является периодической функцией аргумента с периодом 2π, следовательно, и q является

периодической функцией. Значение периода колебаний τ для переменной t получим из условия, по которому добавление периода к этой переменной должно изменить фазу колебаний на период синуса 2π. Имеем:

k(t +τ)+α = kt +α +2π,

τ = 2kπ = 2π ac .

Период колебаний измеряется в секундах. Величина обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за одну секунду, называется частотой колебаний

ν =τ1 =2π ас.

Частота колебаний обычно измеряется числом колебаний в секунду или герцах (Гц).

Частота и период свободных колебаний не зависят от начальных условий, а зависят лишь от параметров системы.

Коэффициент а характеризует инертность механической системы, а коэффициент жесткости с – упругие свойства системы.

Циклическая частота выражается через период колебаний и частоту в форме k = 2τπ = 2πν.

Из этого следует, что циклическая частота k есть число колебаний за время, равное 2π секунд.

На рисунке 1 представлен график свободных гармонических колебаний системы с одной степенью свободы.

q

τ

q0

t

А

Рисунок 1 – График свободных гармонических колебаний системы