Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Малые колебания системы с одной степенью свободы. Методические указания к расчетно-графической работе по дисциплине «Прикладные задачи динамики твердо

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.08.2026

Размер:

275 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

2 Вопросы для самоконтроля

1Каким может быть состояние равновесия механической системы?

2Каков критерий устойчивости состояния равновесия механической системы, устанавливаемый теоремой Лагранжа-Дирихле?

3По какой формуле вычисляют кинетическую энергию системы с одной степенью свободы в обобщенных координатах?

4По какой формуле вычисляют потенциальную энергию системы с одной степенью свободы в обобщенных координатах?

5Что характеризует коэффициент инерции?

6Что характеризует коэффициент жесткости?

7Какой вид имеет дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы?

8Какой вид имеет решение дифференциального уравнения свободных колебаний системы с одной степенью свободы?

9Как определяется циклическая частота колебаний?

10Являются ли свободные колебания системы гармоническими?

11От чего зависят амплитуда и начальная фаза колебаний?

12Зависит ли период и частота колебаний от начальных условий?

13Что называется амплитудой колебаний?

14Что называется начальной фазой колебаний и в каких пределах она изменяется?

15Какой вид имеет уравнение свободных колебаний механической системы

вамплитудной форме?

16Уравнение движения системы в обобщенных координатах имеет вид:

q = 4 cos14t +3sin14t.

Чему равна амплитуда и начальная фаза свободных колебаний механической системы?

3 Контрольное задание. Исследование малых свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы

Определить циклическую частоту и период малых свободных колебаний системы, пренебрегая силами сопротивления, массами пружин и нитей.

Найти уравнение движения груза 1 (у = у(t)) и амплитуду колебаний, приняв за начало отсчета положение покоя груза 1 (при статической деформации пружин).

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1, а схемы механических систем тел 1 – 3 в положении покоя показаны на рисунках 2 и 3.

Во всех вариантах колеса считать сплошными однородными дисками, стержни – однородными.

Таблица 1 – Исходные данные

Номер	m1	m2	m3	с1	с2					V0 ,
варианта						b, см	γ, рад		у0 , см	м/с
варианта		кг		Н/м		b, см	γ, рад		у0 , см	м/с
		кг		Н/м
0	3,0	7,0	4,0	1000	4000	10	π		6,0	1,0
								/3

1	4,5	5,2	1,0	800	1500	15	π		4,0	5,5
								/6

2	5,0	6,3	3,5	1500	2700	35	2	π	3,0	3,5
							2	/3

3	2,0	8,4	6,0	1200	3000	65	π		5,0	4,0
								/4

4	2,5	3,5	1,5	600	1300	30	π		8,0	1,5
								/2

5	1,7	3,0	2,0	3000	2200	20	5	π	0,5	2,5
							5	/6
6	4,5	9,1	7,2	4500	1500	40	3	π	1,0	8,0
							3	/4

7	1,0	2,0	4,0	1600	3000	50		0	2,0	4,5

8	3,8	5,0	3,2	3000	5000	55		π	2,5	6,0

9	0,5	1,5	3,0	900	1400	45	π		0,8	2,0
								/12

На рисунках механические системы показаны в положении покоя (при статической деформации пружин).

В задании принять следующие обозначения: m1, m2 и m3 – массы тел 1, 2 и 3 соответственно; с1 и с2 – коэффициенты жесткости пружин; у0 – начальное отклонение груза 1 от положения равновесия, соответствующего статической деформации пружины; V0 – начальная скорость груза 1.

Для всех вариантов принять: R = 0,8 м; радиус инерции ступенчатого блока

ιx = 0,8R.

0	2	0,5R		1	R	b
	2			с1	R

	R
	R
		b		γ
	1			2R
	с1	R	γ	2R
	с1	R	γ
		с2
		3

1,5R R

с2

2 R

c1 R

1,5R

0,3R

с2

с1

с2 2

0,7R 0,3R

2R	1,5R
2R		с2
	2	с2	γ

b 1

с1

с1 с2

γ	1
	R
	2

Рисунок 2 – Схемы механических систем

6	7
1,5R	1,5R
R

				R	с2
2		b		2	с2	γ
						γ

1	с1
	с1		γ	3
				3

	R	с2			b
			1	с1	b
	3

8	9
	2	R/2
3	R/3	R/2

b	R		1	1		с2
b	R			1

	R/3				3
	R/3	с1			с1
	γ				2	b
						b
						γ
						γ

Рисунок 3 – Схемы механических систем

4 Пример выполнения задания

Дано: m1 = 2 кг; m2 = 4 кг; m3 = 5 кг; с1 = 20 Н/см; с2 = 30 Н/см; b = 0,3 м; R = 0,5 м.

Определить циклическую частоту и период малых свободных колебаний системы, пренебрегая силами сопротивления, трением качения, массами пружин и нитей.

Найти также уравнение движения груза 1, приняв за начало отсчета положение покоя груза 1 (при статической деформации пружин) и амплитуду колебаний груза 1, приняв начальную скорость груза V0 = 3 м/с; начальную координату груза y0 = 6 cм.

	с2	2
	с2
	b
	0	1
3	0
3	R

с1

Рисунок 4 – Схема механической системы

Решение:

Примем за обобщенную координату вертикальное отклонение y груза положения покоя, соответствующего статической деформации пружины.

Воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода:

d			∂T		∂П
	∂T	−		=−		.
	.
dt			∂y		∂y
	∂ y

1 от

(4.1)

Найдем кинетическую и потенциальную энергию системы.

Кинетическая энергия системы определяем как сумму кинетических энергий тел системы 1, 2 и 3:

xA T =T1		+T2 +T3 .	900 - ϕ /2
	VA
		VAx	ω2
		ω3	ω2
ϕ	Vc	ω3
ϕ	Vc
	C
			y
	P		V1
			V1

Рисунок 5 – Схема механической системы

Запишем кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы и выразим через их обобщенную скорость у и обобщенную координату у:

ω2 =

;

ω3 =

;

Vc =

ω3 R =

;

=ω

AP =

AP.

Для определения

АР обозначим

ACР = ϕ

и из

треугольника АВС

получим:

соs(180 −ϕ) = BCAC = Rb ,

тогда

соsϕ =−			b	.

			R
По теореме косинусов из треугольника АСР
АР= R2 + R2 −2R R cosϕ =	2R2 −2R2 cosϕ = 2R2 −2R2 (−				b	).

Следовательно,					R

AP = R 2 1+		b		,
		R
.

VA		y			b
	=		2 1	+		.
		2
					R

Момент инерции тела 2 относительно оси вращения
												J 2 =								m			2	R		2
																							2			2		.
																							2					.
																							2
Момент инерции тела 3 относительно центральной оси
																						m			R2
												J	С3					=					3							.
												J						=						2						.
																								2
Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,
																m V 2										.							2
										T =						m V 2											m y						2
																	1				1			=			1									;
																								=												;
											1							2								2
																		2								2
Кинетическая энергия тела 2, вращающегося вокруг неподвижной оси,
																		m2 R22								.													.
									J 2ω22									m2 R22									y 2												.		2
			T2			=			J 2ω22						=			2											R22					=			m2 y				2		;
			T2			=									=										2									=									;
										2															2														4
Кинетическая энергия тела 3, совершающего плоское движение,
																		.					2								m		R		2			.				2
																					y										m		R							y
														m3																	3																	.
	m V 2				J			ω						m3							2					2																			3m			.
	m V 2				J			ω		2											2					2														2R					3m		3	y	2
T =	3	C	+			C3 3						=														+																		=			3				.
T =			+									=														+																		=							.
3	2						2											2																	2											16
	2						2											2																	2											16
Таким образом, кинетическая энергия рассматриваемой механической
системы		.									.														.								.
		.						m			.														.								.
T =		m y		2				m		2		y 2							3m y 2															y	2			(8m				+ 4m				+3m				)
		1				+				2						+							3									=													2				3
						+										+																=
		2									4												16										16						1
или		2									4												16										16
или															1			.
										T =					1			.					2	,
										T =							a y							,

где коэффициент инерции

a =8m1 + 4m2 +3m3 =8 2 + 4 4 +3 5 =47кг.

Найдем потенциальную энергию системы, которая определяется работой силой тяжести груза 1 и сил упругости пружин на перемещении системы из отклоненного положения, когда груз имеет координату у, в начальное положение, которым считаем положение покоя системы:

П = Пmg + Пc .

Потенциальная энергия силы тяжести груза 1:

Пmg =−m1g y.

Потенциальная энергия деформируемых пружин:

Пс = Пс1 + Пс2 ,

где Пс1 – потенциальная энергия силы упругости пружины 1, Пс2 – потенциальная энергия силы упругости пружины 2.

П		=	с (у + f	ст1	)2	−	с	f	2	,
П	с1	=	1	ст1		−	1	ст1		,
	с1		2					2

где fст1 – статическая деформация пружины.

П= с2 (xA + fст2 )2 − с2 fст2 2 ,

с2 2 2

где fст2 – статическая деформация пружины;

xA – перемещение точки А крепления пружины 2, соответствующее координате у.

xA = ∫VAx dt = ∫ VA cos

−

dt = ∫ VA sin

dt = ∫

2 1

sin

dt.

xA =	y			b		ϕ
		2 1	+		sin		.
	2					2
				R

Известно, что синус половинного угла определяется формулой:

	ϕ		1−cosϕ		1+		b
sin		=		=			R	,
	2		2			2

следовательно,

(1+

)

xA =

2 1

Таким образом, потенциальная энергия деформируемой пружины 2 равна

с2

+ fст2

с2 f

с2

−

ст2

Потенциальная энергия системы

с2

+ f

с (у + f

сf 2

2 1

f 2

ст1

ст2

П =−m gy +

−

ст1

−

ст2

или

П =−m gy + 1

c y2

+ 2c yf

cт1

ст2

Из условия покоя рассматриваемой системы (при у = 0), находящейся под действием потенциальных сил, имеем

∂∂Пу у=0 =0,

	∂П			1				b

			=−m1g +c1 fcт1 +	2 c2	f	ст2 1	+		=0.
								R
∂у		у=0

Таким образом, потенциальная энергия механической системы примет вид:

c2 y 2

b 2

П =

2 c1 y

или

П = 12 су2 ,

где коэффициент жесткости

c =c +	c	2			b	2	=2000 + 3000		+ 0,3	2	Н .
			1	+				1		=3920
	4
1					R		4		0,5		м

Найдем значения членов уравнения (4.1):

∂Т		∂П		d	∂T ..

	=0;		=сy;		. =a y.
∂y	=0;	∂y	=сy;	dt	. =a y.
∂y		∂y		dt	∂q

Уравнение (4.1) примет вид

		..
		a y =−cy.
	После преобразования	..	c
		..	c
		y+		y =0
или		y+	a	y =0
			a
		..
		..			(4.2)
		y+ k 2 y =0.			(4.2)

Циклическая частота свободных колебаний

k =

3920

=9,13 с-1.

Период свободных колебаний

τ =

2π

2 3,14

=0,67 с.

9,13

Уравнение движения груза 1 будет иметь вид

y =C1 cos kt +C2 sin kt.

(4.3)

Для определения постоянных С1 и С2 найдем уравнение скорости груза 1

=−C1k sin kt +C2 k cos kt.

Воспользуемся начальными условиями задачи:

t =0;

у0 =

=V0 =3 м/с.

при

0,06 м,

Получаем

С = y

=0,06 м,

3,0

=0,33 м.

9,13

Подставив полученные значения С1, С2 и k в уравнение (4.3), получим уравнение движения груза 1 в окончательном виде:

y =0,06cos9,13t +0,33sin 9,13t.

Амплитуда колебаний, учитывая выражение (1.11):

А= С2	+С2	= 0,062 +0,332	=0,335 м.
1	2

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]