Идентификация математических моделей систем управления химико-технологическими процессами с измерением производных

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x1 (t) - a0 x0 (t) b u(t);

x1 ( t ) - a1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.08.2026

Размер:

462 Кб

Скачать

☆

Решетняк Е.П., Комиссаров А.В., Харина И.В.

ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

С ИЗМЕРЕНИЕМ ПРОИЗВОДНЫХ

Саратов 2008

УДК 62 ББК 30

Решетняк Е.П., Комиссаров А.В., Харина И.В.

Идентификация математических моделей систем управления химикотехнологическими процессами с измерением производных / Решетняк Е.П. – Саратов: Саратовский военный институт биологической и химической безопасности, 2008. – 8 с. — опубл. 15.06.2012. — Электрон. версия печ. публ. — Доступ с сайта ЭБС IPRbooks.

Вработе проведено исследование алгоритма метода фильтрации Калмана

сизмерением производных в задачах проектирования систем управления хи-

мико-технологическими процессами Получены условия несмещенной иден-

тификации линейных стационарных объектов управления, с целью исключе-

ния необходимости измерения производных предложен метод инструмен-

тальных переменных. Эффективность предложенных алгоритмов показана на примере идентификации математической модели теплообменника.

ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ С ИЗМЕРЕНИЕМ ПРОИЗВОДНЫХ

Среди алгоритмов идентификации математических моделей (ММ) объектов управления (ОУ) в отечественной практике проектирования получили распространение алгоритмы с измерением производных, основанные на использовании методов Калмановской фильтрации (МКФ)

[1].Рассмотрим свойства этих алгоритмов.

Ме т о д К а л м а н о в с к о й ф и л ь т р а ц и и

Пусть необходимо идентифицировать (решить задачу оценивания) вектора параметров a при скалярном наблюдения z, таких, что

			(1)
	a 0,	z h(a,t).	(1)
Алгоритм идентификации МКФ имеет вид:
			(2)
	a РH z,		(2)
	ˆ
где z ˆz z - ошибка оценивания,		ˆz h( aˆ ,t ) - прогноз наблюдения, aˆ –
оценка вектора a, Р РТ	0 - матрица коэффициентов усиления, оп-
ределяемая из дифференциального уравнения:

	P( t ) P( t )H( t )H T ( t )P( t ) .		(3)

Как известно, в фильтре МКФ обеспечивается оптимум значений ошибок оценивания, обусловленных шумами измерений и динамическими ошибками фильтра (2). При малых ошибках измерений алгоритмы МКФ должны обеспечить минимальные динамические ошибки или, в нашем случае, минимальное время идентификации.

И д е н т и ф и к а ц и я с и з м е р е н и е м п р о и з в о д н ы х

Пусть управляемый процесс описывается матричным дифференциальным уравнением

	(4)
x( t ) Ax( t ) B ( t ),

где - скалярное управление. Рассмотрим задачу идентификации коэффициентов одной, например, первой строки этого уравнения:

( t ) b aT x

x1 ( t ) a

i 1

где

aT [ a

...a

b ],

[ xT ].

Рассмотренный выше алгоритм идентификации существенно упрощается, если можно измерять производные вектора состояний:

z( t ) x1 ( t ) aT x р ( t ),

т. е. в этом случае вектор H( t ) в формулах (2), (3) равен вектору x р ( t ) .

Как известно [3], алгоритм идентификации МКФ обеспечивает достижение цели идентификации:

lim [aˆ (t) - a(t)] 0,

если все компоненты вектора H(t) строго линейно независимы. Условия строгой линейной независимости компонентов вектора xр ( t ) сфор-

мулированы в работе [3].

М е т о д и н с т р у м е н т а л ь н ы х п е р е м е н н ы х

Применение метода идентификации с измерением производных часто возможно только тогда, когда можно непосредственно измерить эту производную, что существенно сужает возможности его практического использования. В работе [6] для уменьшения влияния шумов измерения предложено использовать инструментальные переменные. Используем этот подход для того, чтобы исключить необходимость измерения производных.

Рассмотрим, как и ранее, задачу идентификации коэффициентов первой строки уравнения (4), ее преобразование Лапласа имеет вид:

рx1 ( р ) x1 ( 0 ) aT x р ( р ).

Умножив это

уравнение на

Т, прибавив к обеим его частям x1 ( р )

и разделив результат на оператор ( Тр 1),получим:

x1 ( р )

( р ) Тx1

[ a

x р

( 0 )]

Тр 1

где

Ta j ,

j 2,...,n 1.

a1 Ta1 1,

a j

Запишем результат в следующем виде:

~Т

~Т H

Тx1( 0 )

x1( р )

[ xр

( р )

]

р( Тр 1 )

Tр

р Tр 1 р

Таким образом, скалярный сигнал наблюдения можно представить так:

~Т H

Tx1

( 0 )

z( р ) y1 ( р ) a

Y( р )

Тр 1

( Tр

1 ) Tр

где Y( p ) [ x р ( р )

]

Tр 1

На вынужденном движении

Tx1 ( 0 )

~Т

] 0,

[

] 1

z ,

Tр

р( Тр

1 )

поэтому

yИП ( t ) z

(5)

z( t ) a

a р H р ИП ( t ),

где yИП ( t ) L 1 [ Y( р ) ] - вектор инструментальных переменных,

Тр 1

T	~T	T	T
a р [ a		, z ], H р	ИП ( t ) [ yИП ( t ) 1( t )].

Прогноз этого наблюдения можно представить через измеряемые

величины:		ˆz aˆ р H р ИП . Легко показать, что компоненты вектора
H T	( t ) [ yT		( t ), 1( t )] строго линейно независимы в установившемся
рИП	фИП

вынужденном движении. Если дут следующие изменения:

H( р ) Y( р ) / р, то в алгоритме произой-

[ aT

( 0 ),

H T

( t ) [ yT ( )d

t 1( t )],

причем компоненты вектора H р и в этом случае будут строго линейно

независимы.

Предложенный алгоритм имеет следующие преимущества:

1)отпадает необходимость в измерении производных;

2)за счет фильтрации измерений вектора состояний существенно уменьшается влияние на точность идентификации мультипликативных шумов измерений.

Ил л ю с т р и р у ю щ и й п р и м е р

Д а н а ММ теплообменника в виде апериодического звена 2-го порядка [7]:

W( p )	Y( p )		k	.	(6)

	U( p ) ( T p 1 )( T p 1 )
		1	2

Т р е б у е т с я решить задачу идентификации параметров ММ использованием алгоритма Калмановской фильтрации (2)- (3), (5).

Р е ш е н и е : Приведем передаточную функцию (6) к виду:

W( p )

Y( p )

U( p )

p 2 a1 p a0

где b

T1T2

(6) с

(7)

В форме Коши ММ теплообменника запишется так:

y(t) x0 (t).

Уравнение скалярного наблюдения для идентификации параметров первой строки полученной системы уравнений принимает вид:

							x1 (t)
							x1 (t)										y(t)
		( t ) [-a					x					или					b ] y(t)	.
x	1	( t ) [-a	1	- a	0	b ]	x		0	(t)	,	или	y( t ) [-a	1	- a	0	b ] y(t)	.
	1		1		0				0					1		0	u(t)
								u(t)									u(t)

Так как выходным сигналом теплообменника является температура, то реализация алгоритма идентификации при использовании сигналов первой и второй производных температуры, связана со значительными трудностями. Для их преодоления используем предложенный выше алгоритм с инструментальными переменными. Разделим числитель и знаменатель ПФ (7) на устойчивый полином

( p ) ( p 2 c1 p c0 ):

W ( p ) Y( p )

U( p )

где A1 a1 c1 ;

A0 a0

c0 ,

				b										b

	p		2 c		1	p c		0				p 2 c			1	p c			0	,
	p 2 a p a												A1 p A0							,
	p 2 a p a									1			A1 p A0
					1			0		1
													p 2 c1 p c0
	p		2 c		1	p c		0					p 2 c1 p c0
					1			0
c				1			, c				2 d0			,		d		0.7 ,			T 3 / t		,	t
c		0					, c		1					,		d	0	0.7 ,			T 3 / t	p	,	t	p
		0		T	2				1			T					0				0	p			p
				T	2							T
			0								0

– время регулирования, характеризующее быстродействие фильтра, используемого для формирования инструментальных переменных.

Операторное уравнение теплообменника принимает вид:

( 1	A1 p A0				)Y( p )	b				U( p ) .
	p 2 c	1	p c	0		p 2 c	1	p c	0

Введем инструментальные переменные:

Z( p )	1				Y( p ) ; V ( p )	1				U( p ) .

	p 2 c	1	p c	0		p 2 c	1	p c	0

Операторное уравнение ММ теплообменника в этом случае будет описываться следующий системой уравнений:

Y( p ) A1 pZ( p ) A0 Z( p ) bV( p ) ;

( p 2 c1 p c0 )Z( p ) Y( p ) ;

( p 2 c1 p c0 )V( p ) U( p ) .

Запишем соответствующую ММ в пространстве состояний:

	y( t ) - A1					z1 (t) - A0 z0 (t) b v0 (t);
				z1 (t) - с0 z0 (t) y(t);
z1 ( t ) - с1				z1 (t) - с0 z0 (t) y(t);

		z1 (t);
z0 ( t )		z1 (t);
				- с1 v1 (t) - с0 v0 (t) u(t);
	v1 ( t )			- с1 v1 (t) - с0 v0 (t) u(t);

	v	0	( t ) v		1	(t).
		0			1

Для идентификации используем алгоритм МКФ (2), (3), где

z( t ) y( t ) aT H( t ) ;

(9)

(10)

aT [-A	- A b];	H T [z	1	z	0	v	0	].
1	0		1		0		0

Исследование алгоритма идентификации проведем при следующих параметрах ПФ теплообменника (6): T1:=40 с; T2:=60 с; k:=1. Рассчитываем параметры системы (8): a1 0.042, a0 0.00042, b 0.00042. Задаем

и рассчитываем параметры фильтра инструментальных переменных

(9): T0 10, d0 0.7, c1	0.14, c0 0.01. Идентифицируемые параметры в
этом случае равны:	A1 a1 c1 0.0983;	A0 a0 c0 0.00958;

b 0.00042 . Решаем совместно системы дифференциальных уравнений (8), (9), (2), (3) при следующих начальных условиях:

		x1 ( 0 ) x0 ( 0 ) z1 ( 0 ) z0 ( 0 ) v1 ( 0 ) v0 ( 0 ) 0 ;
p	( 0 ) 10	10 , p	22	( 0 ) 10	8 , p	33	( 0 ) 10	4 , p	(0) p	13	(0) p	23	(0) 0 .
11			22			33		12		13		23

Результаты расчетов представлены на рис.1. и 2.

t, c

Рис.1. Изменение оценок коэффициентов ОУ при идентификации:

ˆ	ˆ	ˆ
- A1	/ A1 , - A0	/ A0 , - b / b

t, c

Рис.2. Изменение коэффициентов фильтра Калмана при идентификации:

- R / 100 ,	- R / 10 ,	- Rt, c	104
11	22	33

Как и ожидалось, использование фильтра Калмана позволило существенно уменьшить динамические ошибки фильтра: время идентификации не превышает 7 с. Так как время регулирования идентифицируемой системы достигает 150 с, выбранный алгоритм можно рекомендовать в качестве алгоритма текущей идентификации адаптивной САУ.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Красовский А.А.,. Универсальные алгоритмы управления непрерывными процессами / В.Н. Буков, В.С. Шендрик - М.: Наука,1977. - 272 с.

2.Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Наука,

1984.-320 с.

3.Решетняк Е.П. Адаптивное модальное управление летательными аппаратами. – Саратов: СВВКИУ РВ им. А.И. Лизикова, 1998. - 112 с.

4.Кузовков Н.Т., Кабанов С.В., Салычев О.С. Непрерывные и дискретные системы управления и методы идентификации. -М.: Машиностроение, 1978. - 222 с.

5.Гропп Д. Методы идентификации систем. - М.: Мир, 1979. - 302 с.

6.Сантковский М.Г., Клецельман В.Г. Параметрическая идентификация линейных многомерных динамических систем / Доклады Академии наук Таджикской ССР. -1982, т.ХХV, №10. - C.588-592.

7.Лапшенков Г.И.Инженерные основы биотехнологии [Тест] / Г.А. Носов, Т.В. Зиновкина, К.Ю. Одинцов, Г.И. Лапшенков, Д.Г. Победимский, В.И. Швец; под общ. ред.акад. РАТН Д.Г. Победимского. – М.: МГАТХТ им. М.В. Ломоносова. 2005. - 380 с.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]