4. Регрессия с фиктивными переменными

4.1. Создадим фиктивные переменные, соответствующие разным размерам предприятия.

4.2. Оценим параметры уравнения линейной регрессии с одними фиктивными переменными (модель вида: ): В модель включаем 2 фиктивные переменные

Модель имеет вид:

Проверим значимость регрессии в целом:

Н улевая гипотеза H₀ отвергается, регрессия в целом значима (значение F_набл = совпадает с F_набл, найденным при проведении дисперсионного анализа).

Проверка значимости отдельных коэффициентов.

4) Для рассчитанного t_набл определяется p-value. Если p-value<α, нулевая гипотеза H₀ отвергается, делается вывод о значимости коэффициента.

В нашем случае все коэффициенты модели значимы.

4.3. Видим, что коэффициенты при фиктивных переменных близки. Для проверки их равенства проведем тест на линейные ограничения:

Нулевая гипотеза не отвергается. Коэффициенты при фиктивных переменных можно считать равными.

Примечание. Последующий пункт 4.4 выполняется только в том случае, если не отвергнута нулевая гипотеза проведенного теста. В противном случае пункт 4.4. следует пропустить.

4.4. Сложим фиктивные переменные и построим новую модель.

Dnebolshoe=DSize_2+DSize_1

Включаем в новую модель единственный фактор d_nebolshoe и получаем:

Модель имеет вид:

Проверка значимости регрессии в целом проводится с помощью F-теста. Проверка значимости отдельных коэффициентов проводится с помощью t-тестов.

Проверим значимость регрессии в целом:

Нулевая гипотеза H₀ отвергается, регрессия в целом значима.

П роверка значимости отдельных коэффициентов.

4) Для рассчитанного t_набл определяется p-value. Если p-value<α, нулевая гипотеза H₀ отвергается, делается вывод о значимости коэффициента.

В нашем случае все коэффициенты модели значимы.

4.5. На рентабельность может оказывать влияние не только размер предприятия, но и затраты на обучение сотрудников. Построим график:

Проверим, можно ли ограничиться моделью без фиктивных переменных с единственным количественным фактором Experience (зарплата зависит только от опыта, но не от образования). Оценим регрессионную модель без фиктивных переменных:

Модель имеет вид:

Несмотря на то, что регрессия в целом «значима», спецификация модели может быть неадекватной, поскольку выборка неоднородна (это уже видно по графику) и это нужно исправить добавлением одной или нескольких фиктивных переменных.

Проведем тест Чоу:

1. Выбирается уровень значимости α.

2. Нулевая гипотеза H₀: структурная стабильность.

Альтернативная гипотеза H₁: структурная нестабильность.

3. Рассчитывается наблюдаемое значение F-статистики.

4. Для рассчитанного F_набл определяется p-value. Если p-value<α, нулевая гипотеза H₀ отвергается, структурные изменения значимы, в модель следует включить фиктивную переменную

Т ест Чоу в нашем случае:

Нулевая гипотеза H₀ отвергается. Структурная нестабильность. Следует включить в модель фиктивную переменную.

Включим в модель количественный признак Expenses и фиктивную переменную d_nebolshoe. Получим итоговую модель регрессии с фиктивными переменными:

Модель имеет вид:

П роверим значимость регрессии в целом:

Нулевая гипотеза H₀ отвергается, регрессия в целом значима.

Проверка значимости отдельных коэффициентов.

4) Для рассчитанного t_набл определяется p-value. Если p-value<α, нулевая гипотеза H₀ отвергается, делается вывод о значимости коэффициента.

В нашем случае все коэффициенты модели значимы.

Сравним построенные модели:

Модель	R2-adj	AIC	BIC	HQC
	0,836	428,2	436,08	431,4
	0,834	427,3	432,5	429,4
	0,154	590,4	595,6	592,5
	0,999	-280,8	−273,02	−277,6

R²-adjusted новой модели выше, чем у всех построенных ранее моделей. Значения информационных критериев ниже, чем у всех построенных ранее моделей. Следовательно, это лучшая модель.