Многослойная сферическая стенка

Термическое сопротивление многослойной сферической стенки также является аддитивной величиной. Покажем это, рассмотрев задачу.

Сферическая стенка состоит из двух различных слоев с коэффициентами теплопроводности и Внутренний радиус первого слоя Внешний радиус первого слоя совпадает с внутренним радиусом второго слоя и составляет (рис. 7). Внешний радиус второго слоя составляет Внутренняя поверхность стенки поддерживается при постоянной температуре , а внешняя поверхность - при температуре . Необходимо определить распределение температур в обоих слоях стенки и температуру поверхности контакта слоев. Контакт между слоями термически идеальный.

Рис. 3.4. Многослойная сферическая стенка

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

42/60

Многослойная сферическая стенка

Математическая формулировка задачи имеет вид:

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

Из уравнений теплопроводности (3.21) следует постоянство полных тепловых потоков в обоих слоях стенки. Из равенства (3.24) следует равенство полных тепловых потоков на границе раздела двух слоев. Следовательно, полный тепловой поток постоянен и одинаков в обоих слоях.

Обозначим тогда согласно (3.9) можем записать:

(3.25)

(3.26)

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

43/60

Многослойная сферическая стенка

Складывая (3.25) и (3.26), найдем общее термическое сопротивление многослойной сферической пластины:

(3.27)

Можно обобщить полученный результат на случай сферической стенки состоящей из слоев:

(3.28)

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

44/60

Многослойная сферическая стенка

Для случая неидеального контакта между слоями сферической стенки с термическим сопротивлением , граничные условия имеют вид:

(3.29)

(3.30)

Для граничных условий (3.29) и (3.30) также выполняется условие постоянства полного теплового потока. Умножая (3.29) (или (3.30)) на найдем:

(3.31)

Согласно ранее полученным результатам, для каждого слоя стенки можем записать:

(3.32)

(3.33)

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

45/60

Многослойная сферическая стенка

Складывая (3.31), (3.32) и (3.33), найдем общее термическое сопротивление многослойной сферической стенки с неидеальным контактом между слоями:

(3.34)

В общем случае, полное термическое сопротивление сферической стенки, состоящей из слоев с внутренними радиусами и внешними с термическим сопротивлением контакта между и слоем, имеет вид:

(3.35)

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

46/60

Критический диаметр тепловой изоляции

Приведем некоторые рекомендации по выбору толщины слоя сферической изоляции. Для этого рассмотрим задачу о двухслойной сферической стенки с граничными условиями 3-го рода (рис. 3.5).

Согласно ранее полученным результатам, общее термическое сопротивление такой системы имеет вид (контакт между слоями считаем идеальным):

(3.36)

Термическое сопротивление системы без тепловой изоляции определяется выражением:

(3.37)

Продифференцируем (2.36) по внешнему радиусу изоляции дважды, тогда получим (см. след. слайд):

Рис. 3.5. Критический радиус тепловой изоляции

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

47/60

Критический диаметр тепловой изоляции

(3.38)

(3.39)

Положив в (3.38) левую часть равной нулю, найдем критический радиус тепловой изоляции:

(3.40)

Подставляя (3.40) в (3.39), найдем:

(3.41)

Таким образом, полное термическое сопротивление системы минимально при критическом радиусе тепловой изоляции и, следовательно, полный тепловой поток максимален.

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы

48/60

Критический диаметр тепловой изоляции

Следует отметить, что поскольку критический радиус изоляции не зависит от диаметра трубы, то

(3.37). Эту минимальную толщину можно определить из уравнения:

(3.42)

Решая (3.42) относительно , получим:

(3.43)

Рис. 3.6. Качественная зависимость линейного теплового потока от толщины изоляции

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

49/60

Критический диаметр тепловой изоляции

Интересно отметить, что при неограниченном росте толщины слоя изоляции термическое сопротивление сферического слоя не стремиться к бесконечности, а имеет конечное асимптотическое значение :

(3.44)

Из (3.44) следует несколько интересных выводов. Во-первых, сравнивая термическое сопротивление системы с бесконечной изоляцией (3.44) с термическим сопротивлением неизолированной системы (3.37), можно обнаружить:

(3.45)

Таким образом, если теплопроводность изоляционного материала удовлетворяет условию , то предельное термическое сопротивление изолированной системы меньше сопротивления неизолированной системы, или тепловые потери для изолированной системы всегда больше чем для неизолированной.

Таким образом, изоляционный материал, теплопроводность которого , можно назвать «очень плохим».

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

50/60

Критический диаметр тепловой изоляции

Дальнейший анализ (3.44) позволит нам определить эффективный размер изоляции, при котором термическое сопротивление изолированной системы отличается от системы с бесконечной изоляцией на процентов:

(3.45)

Подставляя (3.36) и (3.44) в (3.45) и разрешая получившееся уравнение относительно , получим:

(3.46)

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

51/60