Многослойная плоская стенка
Покажем, что термическое сопротивление многослойной стенки также является аддитивной величиной. С этой целью рассмотрим следующую задачу.
Бесконечная плоская пластина состоит из двух различных слоев с толщинами и и коэффициентами теплопроводности и (рис. 1.4). Левая поверхность пластины поддерживается при постоянной температуре , правая поверхность - при температуре
. Необходимо определить распределение температур в обоих слоях пластины и температуру поверхности контакта слоев. Контакт между слоями термически идеальный.
Математическая формулировка данной задачи имеет вид:
(1.19)
(1.20)
(1.21)
Рис. 1.4. Распределение температуры в двухслойной стенке
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
11/60
Многослойная плоская стенка
Строго говоря, для решения задачи (1.19)-(1.21) необходимо решить два дифференциальных уравнения (1.19) и подставить в граничные условия (1.20)-(1.21). Полученную в результате систему линейных алгебраических уравнений необходимо разрешить относительно констант интегрирования для нахождения распределения температур.
Однако, мы найдем решение этой задачи, опираясь на полученные ранее результате. Во-первых, заметим, что согласно второму граничному условию (1.21) плотность теплового потока в первом и во втором слое на границе раздела слоев равны. Принимая во внимание, что плотность теплового потока постоянна в каждом из слоев (1.3), приходим к выводу, что для рассматриваемой задачи выполняется:
(1.22)
С другой стороны, согласно 1-му граничному условию (1.21) (идеальный контакт слоев), температуры тел на поверхности контакта равны. Следовательно, можно ввести . Тогда, в соответствие с решением задачи для однослойной пластины (стенки) (1.6), можем записать:
(1.23)
(1.24)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
12/60
Многослойная плоская стенка
Складывая (1.23) и (1.24), найдем:
(1.25)
Из (1.25) видно, что общее термическое сопротивление многослойной стенки при идеальном контакте определяется выражением:
(1.26)
Полученный результат несложно обобщить на случай -го количества слоев. В этом случае общее термическое сопротивление многослойной пластины можно рассчитать согласно выражению:
(1.27)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
13/60
Многослойная плоская стенка
Обобщим результаты задачи (1.19)-(1.21) для случая неидеального контакта между двумя слоями пластины. В этом случае, граничные условия на поверхности контакта имеют вид:
(1.28)
(1.29)
Выражения (1.28), (1.29) предполагают равенство плотности тепловых потоков в средах. Согласно закону Фурье заменим левую часть (1.28) на плотность теплового потока . Объединяя полученное выражение в систему с аналогами (1.23)-(1.24), получим:
(1.30)
(1.31)
(1.32)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
14/60
Многослойная плоская стенка
Складывая (1.30)-(1.32), найдем общее термическое сопротивление двухслойной пластины с неидеальным контактом:
(1.33)
Также как и для идеального контакта, полученный результат можно обобщить на случай многослойной пластины, состоящей из слоев с термическим сопротивлением между -м и -м .
(1.34)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
15/60
Стационарная теплопроводность цилиндрической стенки без внутренних источников тепловыделения
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы
16/60
Бесконечная цилиндрическая стенка
Для изучения особенностей распределения температур в цилиндрической стенке рассмотрим следующую задачу.
Задача
Бесконечная или идеально теплоизолированная (в аксиальном направлении) цилиндрическая стенка имеет радиусы внутренней и внешней поверхностей и соответственно. На внутренней и внешней поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры и соответственно (пусть ) (рис. 2.1). Коэффициент теплопроводности материала стенки постоянен и равен Необходимо определить распределение температур в цилиндрической стенке.
В цилиндрической системе постановка задачи имеет вид:
Рис. 2.1. Схематическое распределение температур в цилиндрической стенке (2.1)
(2.2)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
17/60
Бесконечная цилиндрическая стенка
Интегрируя уравнение теплопроводности (2.1) один раз, обнаружим, что плотность теплового потока не является постоянной и изменяется с радиальной координатой:
(2.3)
(2.4)
Это обстоятельство существенно снижает удобство вычислений с использованием плотности теплового потока. Удобно ввести линейную плотность теплового потока:
(2.5)
Для изотропного цилиндра линейная плотность теплового потока является постоянной. По физическому смыслу линейный тепловой поток есть количество энергии, проходящее через единицу длины цилиндрического сечения в единицу времени и имеет размерность [Вт/м].
Возвращаясь к решению задачи, выполним повторное интегрирование (2.3), в результате чего найдем общий вид распределения температур в цилиндрической стенке:
(2.6)
Отметим, что знаменатель под знаком логарифма в (2.6) выбран для удобства.
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
18/60
Бесконечная цилиндрическая стенка
Константы интегрирования и в выражении (2.6) найдем путем подстановки (2.6) в граничные условия (2.2). В результате получим конечный вид распределения температур:
(2.7)
Найдем плотность теплового потока, подставляя (2.7) в закон Фурье:
(2.8)
Тогда, согласно (2.5) линейная плотность теплового потока имеет вид:
(2.9)
Опираясь на (2.9), удобно ввести термическое сопротивление цилиндрической стенки в виде:
(2.10)
Следует обратить особое внимание, что размерность термического сопротивления для цилиндрической стенки [м*К/Вт] отличается от плоского случая.
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
19/60
Бесконечная цилиндрическая стенка
Рассмотрим задачу, аналогичную предыдущей, но с граничными условиями 3-го рода на внешней и внутренней поверхностях цилиндрической стенки. В этом случае, граничные условия имеют вид:
(2.11)
(2.12)
Из уравнения теплопроводности в цилиндрической системе координат, также как и в прошлой задаче, следует, что линейный тепловой поток постоянен (2.5). Воспользуемся этим и умножим (2.11) и (2.12) на , в результате получим:
Рис. 2.2. Граничные условия 3-го рода (2.13)
(2.14)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
20/60