Критический диаметр тепловой изоляции

(2.38)

(2.39)

Положив в (2.38) левую часть равной нулю, найдем критический радиус тепловой изоляции:

(2.40)

Подставляя (2.40) в (2.39), найдем:

(2.41)

Таким образом, полное термическое сопротивление системы минимально при критическом радиусе тепловой изоляции и, следовательно, линейный тепловой поток максимален.

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы

31/60

Критический диаметр тепловой изоляции

Отметим также, что для цилиндрической изоляции термическое сопротивление не имеет максимального предела, т.е. неограниченно стремиться к бесконечности с ростом толщины изоляции, действительно:

(2.44)

Однако, можно оценить толщину эффективной изоляции, при которой тепло-потери через изоляцию будут меньше потерь неизолированной системы на процентов. Для этого, необходимо решить уравнение:

(2.45)

Выражение (2.45) можно упростить и привести к виду нелинейного трансцендентного уравнения, решение которого может быть найдено численными методами для каждого конкретного случая:

(2.46)

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

33/60

Сферическая стенка

Для изучения особенностей распределения температур в сферической стенке рассмотрим следующую задачу.

Задача

Сферическая стенка имеет радиусы внутренней и внешней поверхностей и соответственно. На внутренней и внешней поверхностях стенки поддерживаются постоянные

распределение температур в сферической стенке.

Рис. 3.1. Распределение температур в сферической стенке

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

35/60

Сферическая стенка

Постановка задачи имеет вид:

(3.1)

(3.2)

Однократное интегрирование (3.1) дает:

(3.3)

Из (3.3) следует, что плотность теплового потока не постоянна и зависит от радиальной координаты. Введем в рассмотрение полный тепловой поток [Вт], определяющий количество энергии, проходящей сквозь поверхность сферы радиусом в единицу времени:

(3.4)

Согласно (3.4) определенный выше полный тепловой поток является постоянным в случае стационарной теплопроводности в изотропной сферической стенке.

Выполним повторное интегрирование (3.3), в результате чего получим общий вид распределения температур в сферической стенке: (см. след. слайд)

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

36/60

Сферическая стенка

(3.5)

Константы интегрирования и в выражении (3.5) найдем путем подстановки (3.5) в граничные условия (3.2). В результате получим конечный вид распределения температур:

(3.6)

Найдем плотность теплового потока согласно закону Фурье:

(3.7)

Тогда, согласно (3.4), полный тепловой поток определяется выражением:

(3.8)

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы

37/60

Сферическая стенка

Опираясь на (3.8), термическое сопротивление сферической стенки можно ввести следующим образом:

(3.9)

Обратим внимание, что размерность термического сопротивления сферической стенки [К/Вт].

Для дальнейшего изучения теплопроводности в сферической стенке рассмотрим задачу с граничными условиями 3-го рода (рис. 3.2).

Граничные условия имеют вид:

(3.10)

(3.11)

Пользуясь тем, что полный тепловой поток в этой задаче также постоянен, умножим граничные условия (3.10) и (3.11) на , тогда получим: (см. след. слайд)

Рис. 3.2. Граничные условия 3-го рода

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

38/60

Сферическая стенка

(3.12)

(3.13)

где введены обозначения .

Объединяя в систему (3.12), (3.13) и (3.8), найдем:

(3.14)

Таким образом, полное термическое сопротивление имеет вид:

(3.15)

Покажем, как используя полное термическое сопротивление сферической стенки (3.15) найти распределение температур. Для этого сначала найдем полный тепловой поток, проходящий через сферическую стенку:

(3.16)

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы

39/60

Сферическая стенка

Найдем значения температур на внутренней и внешней поверхностях стенки:

(3.17)

(3.18)

Распределение температур можно найти вводя переменное термическое сопротивление участка цилиндрической стенки (рис. 3.3):

(3.19)

Тогда, по аналогии с (124) и (125), распределение можно найти как:

(3.20)

Рис. 3.3. Переменное термическое сопротивление

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

40/60

2 и 2*: стационарное решение задачи с 2-мя граничными условиями 2-го рода существует только при условии и при этом определено с точностью до произвольной постоянной

Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.

41/60