Бесконечная цилиндрическая стенка
В (68) и (69) введены обозначения: и . Объединяя (2.9), (2.13) и (2.14) в систему и, затем, исключая из полученной системы и , можно найти:
(2.15)
Таким образом, полное термическое сопротивление представляется суммой частных термических сопротивлений:
(2.16)
Из уравнений (2.13) и (2.16) видно, что представляет собой термическое сопротивление между и , т.е. термическое сопротивление поверхности раздела жидкость-стенка. Аналогичный смысл для внешней поверхности имеет . является термическим сопротивлением цилиндрической стенки.
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
21/60
Бесконечная цилиндрическая стенка
Покажем, как используя полное термическое сопротивление цилиндрической (2.16) стенки найти распределение температур. Для этого сначала найдем линейный тепловой поток, проходящий через цилиндрическую стенку:
(2.17)
Найдем значения температур на внутренней и внешней поверхностях цилиндрической стенки, используя линейный тепловой поток (2.17):
(2.18)
(2.19)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
22/60
Бесконечная цилиндрическая стенка
Распределение температур можно найти вводя переменное термическое сопротивление участка цилиндрической стенки (рис. 2.3):
(2.20)
Тогда, по аналогии с (2.18), температура в сечении будет определяться выражением:
Рис. 2.3. Переменное термическое сопротивление
(2.21)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
23/60
Бесконечная цилиндрическая стенка
Граничные условия |
Полное термическое |
Линейная плотность теплового |
Распределение температур |
|
|
|
сопротивление |
потока |
|
1 |
и 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
и 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
и 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
и 2*: |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
и 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
и 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
*2 и 2: стационарное решение задачи с 2-мя граничными условиями 2-го рода существует только при условии и при этом определено с точностью до произвольной постоянной
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
24/60
Многослойная цилиндрическая стенка
Термическое |
сопротивление |
многослойной |
|
|
цилиндрической стенки также является аддитивной |
|
|||
величиной. Покажем это, рассмотрев задачу. |
|
|||
|
|
|||
Бесконечная цилиндрическая стенка состоит из |
|
|||
двух различных слоев с коэффициентами |
|
|||
теплопроводности |
и |
Внутренний радиус первого |
|
|
слоя Внешний радиус |
первого слоя |
совпадает с |
|
|
внутренним радиусом второго слоя и составляет |
|
|||
(рис. 2.4). Внешний радиус второго слоя составляет |
|
|||
Внутренняя поверхность стенки поддерживается при |
|
|||
постоянной температуре , а внешняя поверхность - |
|
|||
при температуре . Необходимо определить |
Рис. 2.4. Многослойная цилиндрическая стенка |
|||
распределение температур в обоих слоях стенки и |
||||
температуру поверхности контакта слоев. Контакт |
|
|||
между слоями термически идеальный. |
|
|
||
|
|
|
|
|
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
25/60
Многослойная цилиндрическая стенка
Математическая формулировка задачи имеет вид:
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
Из уравнений теплопроводности (2.22) следует постоянство линейных тепловых потоков в обоих слоях стенки. Из равенства (2.25) следует равенство линейных тепловых потоков на границе раздела двух слоев. Следовательно, линейный тепловой поток постоянен и одинаков в обоих слоях.
Обозначим тогда согласно (2.9) можем записать:
(2.26)
(2.27)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
26/60
Многослойная цилиндрическая стенка
Складывая (2.26) и (2.27), найдем общее термическое сопротивление многослойной цилиндрической пластины:
(2.28)
Аналогичным образом, можно обобщить полученный результат на случай цилиндрической стенки состоящей из слоев:
(2.29)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
27/60
Многослойная цилиндрическая стенка
Для случая неидеального контакта между слоями цилиндрической стенки с термическим сопротивлением , граничные условия имеют вид:
(2.30)
(2.31)
Для граничных условий (2.30) и (2.31) также выполняется условие постоянства линейной плотности теплового потока. Умножая (2.30) (или (2.31)) на найдем:
(2.32)
Согласно ранее полученным результатам, для каждого слоя стенки можем записать:
(2.33)
(2.34)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
28/60
Многослойная цилиндрическая стенка
Складывая (2.32), (2.33) и (2.34), найдем общее термическое сопротивление многослойной цилиндрической стенки с неидеальным контактом между слоями:
(2.35)
В общем случае, полное термическое сопротивление цилиндрической стенки, состоящей из слоев с внутренними радиусами и внешними с термическим сопротивлением контакта между и слоем, имеет вид:
(2.36)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
29/60
Критический диаметр тепловой изоляции
В некоторых практических задачах важную роль играет подбор оптимального размера теплоизоляционного материала – малый слой изоляции может не дать желаемого эффекта, в то время как неоправданно большой слой изоляции приводит к росту стоимости изоляции.
Приведем некоторые рекомендации по выбору толщины слоя изоляции. Для этого рассмотрим задачу о двухслойной цилиндрической стенки с граничными условиями 3-го рода (рис. 2.5).
Согласно ранее полученным результатам, общее термическое сопротивление такой системы имеет вид (контакт между слоями считаем идеальным):
(2.37)
Продифференцируем (2.37) по внешнему радиусу изоляции дважды, тогда получим (см. след. слайд):
Рис. 2.5. Критический радиус тепловой изоляции
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
30/60