МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕХНОЛОГИЙ КАФЕДРА «ТЕПЛОФИЗИКИ»
Курс лекций «Основы теории тепломассообмена»
Лекция №3. Теплопроводность в телах простейшей формы
Москва 2026
Курс лекций «Основы теории тепломассообмена».
Уравнение стационарной теплопроводности без источников тепловыделения
Ранее был получен общий вид классического уравнения теплопроводности:
(В.1)
Напомним, что в выражении (В.1) – массовая плотность тела [кг/м3]; - удельная изобарная теплоемкость [Дж/(кг*К)]; – температура [К]; – коэффициент теплопроводности [Вт/(м*К)]; - плотность внутренних источников тепловыделения [Вт/м3].
Для стационарного процесса теплопроводности без внутренних источников тепловыделения уравнение (В.1) существенно упрощается, принимая вид:
(В.2)
Наконец, если теплопроводность исследуемого тела можно считать постоянной, уравнение теплопроводности (В.2) принимает наиболее простой вид:
(В.3)
Для дальнейшего анализа будем использовать уравнение теплопроводности в виде (В.2) или (В.3).
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
2/60
Стационарная теплопроводность плоской стенки без внутренних источников тепловыделения
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
3/60
Бесконечная плоская стенка
Рассмотрим следующую задачу: плоская стенка толщиной бесконечна в двух других направлениях (рис. 1.1), либо конечна, но её боковые поверхности идеально теплоизолированы. Поверхности стенки поддерживаются при постоянных температурах и (пусть, ради определенности, ). Коэффициент теплопроводности стенки постоянен и равен .
Найдем распределение температуры в стенке. Для начала выберем ось таким образом, чтобы левая поверхность стенки соответствовала началу координат , тогда правая поверхность стенки будет соответствовать координате . В данном случае, уравнение теплопроводности будет иметь вид:
(1.1)
Граничные условия:
(1.2)
Рис. 1.1. Распределение температур в плоской стенке
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
4/60
Бесконечная плоская стенка
Интегрируя уравнение (1.1) один раз, найдем, что . Принимая во внимание, что по условию задачи коэффициент теплопроводности также постоянен, можно прийти к выводу:
(1.3)
При выводе (1.3) мы не использовали граничные условия (1.2). Это означает, что плотность теплового потока в плоской стенке постоянна для всех граничных условий.
Общее решение уравнения (1.1) можно найти путем последовательного двухкратного интегрирования. В результате получим:
(1.4)
Константы интегрирования и можно найти путем подстановки распределения температуры (1.4) в граничные условия (1.2) и решения получившейся линейной системы уравнений.
Окончательно, распределение температур имеет вид:
(1.5)
Применяя закон Фурье (1.3), найдем плотность теплового потока в пластине:
(1.6)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
5/60
Бесконечная плоская стенка
Введем в рассмотрение новую величину – термическое сопротивление [м2*К/Вт]:
(1.7)
где - перепад температур (температурный напор).
Удобство введенной величины обусловлено тем, что термическое сопротивление не зависит от температуры, а определяется теплофизическими свойства пластины и ее размерами.
Покажем ряд важных свойств термического сопротивления. Для этого рассмотрим исходную задачу с граничными условиями 3-го рода, как показано на рис. 1.2. Левая поверхность стенки нагревается* потоком жидкости с температурой и коэффициентом теплоотдачи . Правая поверхность охлаждается* жидкостью с температурой и коэффициентом теплоотдачи .
Заметим, что вид уравнения теплопроводности не зависит от граничных условий, а значит общее решение (1.4) и постоянство плотности теплового потока также справедливы и для этого случая.
*Ради определенности мы приняли , что не ограничивает общности последующих выводов (плотность теплового потока стоит рассматривать как алгебраическую величину). Нетрудно показать, что при температура по всей толщине стенки постоянна и равна , и, следовательно, .
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
Рис. 1.2. Граничные условия 3-го рода
6/60
Бесконечная плоская стенка
Граничные условия принимают вид:
(1.8)
(1.9)
Знак «-» в правой части (1.8) обусловлен тем, что . С другой стороны, принимая во внимание закон Фурье, граничные условия (1.8) и (1.9) можно переписать в виде:
(1.10)
(1.11)
В (1.10) и (1.11) введены обозначения: и . Можно заметить, что получившаяся система (1.10)-(1.11) содержит 3 неизвестных и для решения требует ещё одно дополнительное уравнение, в качестве которого может служить ранее полученное (1.6). Объединяя (1.6), (1.10) и (1.11) в систему и, затем, исключая из полученной системы и , можно найти:
(1.12)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
7/60
Бесконечная плоская стенка
Величину в скобках в правой части (1.12) можно рассматривать как полное термическое сопротивление системы, представляющее собой сумму частных термических сопротивлений:
(1.13)
Из уравнений (1.10) и (1.11) видно, что представляет собой термическое сопротивление между и , т.е. термическое сопротивление поверхности раздела жидкость-стенка. Аналогичный смысл для правой поверхности имеет . является термическим сопротивлением плоской стенки.
Из (1.13) следует важный вывод, который обуславливает удобство и широкую применимость термического сопротивления.
Вывод: термическое сопротивление системы представляется суммой частных термических сопротивлений, т.е. термическое сопротивление аддитивно.
Используя полное термическое сопротивление (1.13) можно найти распределение температур в плоской стенке не прибегая к решению дифференциального уравнения и подстановке общего решения в граничные условия. Для этого необходимо найти плотность теплового потока , используя определение термического сопротивления (1.7), найденное полное термическое сопротивление системы (1.13) и температурный напор : (см. след. слайд)
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
8/60
Бесконечная плоская стенка
(1.14)
Далее необходимо найти температуры поверхностей стенки и , что также можно сделать используя определение термического сопротивления и частные термические сопротивления:
(1.15)
(1.16)
Распределение температур можно найти вводя переменное термическое сопротивление участка пластины:
(1.17)
Тогда, по аналогии с (1.15) и (1.16), можно получить:
(1.18)
Рис. 1.3. Переменное термическое сопротивление
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы
9/60
Бесконечная плоская стенка
В таблице указаны всевозможные сочетания граничных условий для плоской пластины и соответствующие выражения для полного термического сопротивления, плотности теплового потока и распределения температур
Граничные условия |
Полное |
Плотность теплового |
Распределение температур |
|
|
|
термическое |
потока |
|
|
|
сопротивление |
|
|
1 |
и 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
и 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
и 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
и 2*: |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
и 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
и 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
*Если на обеих границах пластины заданы граничные условия 2-го рода, то стационарное решение задачи существует только если . При этом профиль температуры может быть определен только с точностью до произвольной постоянной .
Курс лекций «Основы тепломассообмена». Теплопроводность в телах простейшей формы.
10/60