6. 2.2 Расчет показателей надежности при экспоненциальном законе (Задачи 4.12, 4.13)

Задача 4.12. Вероятность безотказной работы автоматической линии изготовления штоков бурового насоса в течение 120 час равна 0,95. Определить интенсивность отказов линии для момента времени 120 часов и среднее время безотказной работы. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности.

Решение: Для экспоненциального закона интенсивность отказов является величиной постоянной (λ = const). Выразим её из формулы вероятности безотказной работы, получив выражение 11.

P(t) = e–λt → ln(P(t)) = –λt → λ = – .

(11)

λ = ч^–1.

Интенсивность отказов для момента времени 120 часов равна расчетному значению: λ(120) = 4,27∙10^–4 ч^–1. Среднее время безотказной работы: M_t = час.

Ответ: λ(120) = 4,27·10^–4 ч^–1; M_t = 2341,9 час.

Задача 4.13. Среднее время безотказной работы автоматической системы управления равно 640 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение 120 часов, частоту отказов для момента времени 120 часов и интенсивность отказов.

Решение: Определим постоянную интенсивность отказов:

λ = = 1,5625∙10^–3 ч^–1.

Вероятность безотказной работы за 120 часов: P(120) = =

= e^–0,1875 = 0,8290.

Частота отказов (плотность вероятности) для экспоненциального закона f(t) = λ ∙ P(t): f(120) = 1,5625 ∙ 10^–3 ∙ 0,8290 = 1,295 ∙ 10^–3 ч^–1. Интенсивность отказов для экспоненциального закона постоянна λ(120) = 1,5625 ∙ 10^–3 ч^–1.

Ответ: P(120) = 0,8290; f(120) = 1,295·10^–3 ч^–1; λ(120) = 1,5625·10^–3 ч^–1.

7. 2.3 Определение интенсивности отказов при нормальном законе (Задача 4.15)

Задача 4.15. Определить вероятность безотказной работы и интенсивность отказов прибора при t = 1300 часов работы, если при испытаниях получено значение среднего времени безотказной работы M_t = 1500 часов и среднее квадратическое отклонение σ_t = 100 час.

Решение: Квантиль нормированного нормального распределения: U_p = ; Ф(-2) = 0,0228.

Вероятность безотказной работы P(t) = 1 – Ф(U_p) = 1 – 0,0228 = 0,9772.

Для нормального закона распределения интенсивность отказов определяется как отношение плотности вероятности к вероятности безотказной работы λ(t) = . Плотность вероятности отказов (ордината кривой нормального распределения) определим по формуле 12.

.

(12)

= 0,003989 ∙ e^–2 = 0,003989∙0,1353 = 5,398 ∙ 10^–4 ч^–1. Интенсивность отказов λ(1300) = = 5,52∙10^–4 ч^–1.

Ответ: P(1300) = 0,9772; λ(1300) = 5,52·10^–4 ч^–1.

Заключение

Анализ задач с 4.1 по 4.10 показал, что нормальный закон распределения требует обязательного учета параметров рассеивания (среднеквадратического отклонения и коэффициента вариации). Было установлено, что вид функции Лапласа жёстко задает вероятности безотказной работы и отказа. Также на практике было подтверждено, что использование нормального закона ограничено физическим смыслом и применимо в основном для оценки периодов приработки и старения изделий, когда отказы носят закономерный характер износа.

В задачах 4.12 и 4.13, решённых с применением экспоненциального закона, продемонстрирована простота математического аппарата. Показано, что главным свойством данного закона является постоянство интенсивности отказов во времени, что позволяет легко пересчитывать вероятность безотказной работы в среднюю наработку на отказ и наоборот. Это распределение оптимально описывает внезапные отказы в период нормальной эксплуатации систем.

При решении задач 4.11 и 4.14 по закону Вейбулла была выявлена гибкость данного распределения. За счет параметра формы α закон Вейбулла способен описывать как убывающую, так и возрастающую интенсивность отказов, что делает его универсальным инструментом для моделирования жизненного цикла объектов со сложным характером изнашивания. Расчет средней наработки потребовал применения гамма-функции, что подтверждает математическую сложность, но высокую точность данного метода.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что правильный выбор теоретического закона распределения на основе статистических данных является критически важным этапом проектирования автоматизированных систем, так как использование неверной модели может привести к ошибкам в оценке надежности в несколько раз.