4. 1.4 Анализ предельных состояний системы (Задачи 4.8 – 4.10)

Задача 4.8. Минимальная наработка на отказ составляет 3000 часов, средняя наработка 1200 часов. Определить количество отказавших изделий при наработке 9000 часов и характеристики надежности.

Решение: в исходных данных допущена логическая неточность: минимальная наработка не может превышать среднюю. Для выполнения расчетов примем стандартное для надежности допущение, что 3000 часов – это максимальная наработка (верхняя граница рассеивания T_max = M_t + 3σ_t).

Определим среднее квадратическое отклонение: M_t + 3σ_t = 3000 → 1200 + 3σ_t = 3000 → σ_t = 600 час.

Определим вероятность отказа при t = 9000 часов:

U_p = = 13,0; Ф(13,0) ≈ 1.

Так как в условии не задано общее количество изделий N, расчет ведется через вероятность.

Ответ: вероятность отказа при 9000 часов Q(t) = 1 (100% изделий откажут). Характеристики распределения M_t = 1200 час, σ_t = 600 час.

Задача 4.9. Определить вероятность отказа изделия при наработке 1500 часов, если коэффициент вариации равен 0,2, нижнее предельно-допустимое значение наработки составляет 2000 часов.

Решение: Примем нижнее предельно-допустимое значение за нижнюю границу рассеивания (T_min = M_t – 3σ_t). Выразим M_t: M_t – 3 ∙ (0,2 ∙ M_t) = 2000 → M_t – 0,6M_t = 2000 → 0,4M_t = 2000 → M_t = 5000 час. Среднее квадратическое отклонение σ_t = 0,2 ∙ 5000 = 1000 час.

Рассчитаем вероятность отказа при t = 1500 часов: Up = = -3,5; Q(t) = Ф(-3,5) ≈ 0,0002.

Ответ: вероятность отказа при наработке 1500 часов составляет 0,0002.

Задача 4.10. Предельно допустимое значение наработки на отказ составляет 1600 часов, максимальное значение 2000 часов. Определить вероятность отказа при наработке 1200 часов и характеристики данного распределения.

Решение: Интерпретируем заданные значения как стандартные границы рассеивания нормального распределения: предельно допустимое значение соответствует M_t + 2σ_t, а максимальное – M_t + 3σ_t.

Составим систему уравнений

.

Вычтя первое из второго, получим: σ_t = 400 час.

Подставим в первое: M_t + 800 = 1600 → M_t = 800 час.

Коэффициент вариации: v_x = = 0,5.

Определим вероятность отказа при наработке 1200 часов:

U_p = = 1; Q(t) = Ф(1) = 0,8413.

Ответ: характеристики распределения: M_t = 800 час, σ_t = 400 час, v_x = 0,5; вероятность отказа при 1200 часов Q(t) = 0,8413 = 84,13 %.

2. Расчет показателей надежности при экспоненциальном законе и законе вейбулла

5. 2.1 Расчет показателей надежности по закону Вейбулла (Задачи 4.11, 4.14)

Задача 4.11. Наработка до отказа изделия подчиняется закону Вейбулла с параметрами α = 1,5 и λ = 10^–4 час^–1. Определить количественные характеристики надежности изделия за время работы изделия 100 час.

Решение: Вероятность безотказной работы для закона Вейбулла определяется по формуле 7.

P(t) = .

(7)

P(100) = .

Вероятность отказа Q(t) = 1 – P(t) = 1 – 0,9048 = 0,0952.

Плотность вероятности отказов (частота отказов) определяется выражением 8.

f(t) = .

(8)

f(100) = ч^–1.

Интенсивность отказов определим по формуле 9.

λ(t) = α∙λ∙tα–1.

(9)

λ(100) = 1,5 ∙ 10^–4 ∙ 10 = 1,5 ∙ 10^–3 ч^–1.

Средняя наработка на отказ для закона Вейбулла (10).

Mt = ,

(10)

где – гамма-функция, табличное значение которой равно 0,9027. M_t = = 100 ∙ 0,9027 = 90,27 час.

Ответ: P(t) = 0,9048; Q(t) = 0,0952; f(t) = 1,357·10^–3 ч^–1;

λ(t) = 1,5·10^–3 ч^–1; M_t = 90,27 час.

Задача 4.14. Время исправной работы скоростных шарикоподшипников подчинено закону Вейбулла с параметрами α = 2,6; λ = 1,65∙10^–7 час^–1. Требуется вычислить количественные характеристики надежности для времени 150 часов и среднее время безотказной работы шарикоподшипников.

Решение: Рассчитаем вероятность безотказной работы по формуле (7): P(150) = = 0,8910. Q(150) = 1 – 0,8910 = 0,109.

Интенсивность отказов по формуле (9):

λ(150) = 2,6 ∙ 1,65 ∙ 10^–7 ∙ 150^1,6 = 4,29 ∙ 10^–7 ∙ 4664,1 = 2,0 ∙ 10^–3 ч^–1.

Плотность вероятности отказов по формуле (8):

f(150) = λ(150) ∙ P(150) = 2,0 ∙ 10^–3 ∙ 0,891 = 1,782 ∙ 10^–3 ч^–1.

Средняя наработка на отказ:

M_t = .

Значение Γ(1,385) по таблице равно 0,8905. M_t = 411,9 ∙ 0,8905 = 366,8 час.

Ответ: P(150) = 0,891; Q(150) = 0,109; f(150) = 1,782·10^–3 ч^–1; λ(150) = 2,0·10^–3 ч^–1; M_t = 366,8 час.