1.2 Расчет комплексных показателей надежности (Задачи 4.4 – 4.5)
Задача 4.4. Средняя наработка на отказ соответствует 1500 часам, коэффициент вариации 0,3. Определить показатели надежности для наработок 1000 часов, 2000 часов, 3000 часов.
Решение: Найдем среднее квадратическое отклонение по формуле 5.
σt = vx ∙ Mt. |
(5) |
σt = 0,3 ∙ 1500 = 450 час.
Расчёт произведем для каждой наработки.
Для t
= 1000 часов: Up
=
;
Ф(-1,11) = 0,1335;
Q(t) = 0,1335; P(t) = 1 – 0,1335 = 0,8665.
Для t
= 2000 часов: Up
=
;
Ф(1,11) = 0,8665;
Q(t) = 0,8665; P(t) = 1 – 0,8665 = 0,1335.
Для t
= 3000 часов: Up
=
;
Ф(3,33) ≈ 0,9995;
Q(t) = 0,9995; P(t) = 1 – 0,9995 = 0,0005.
Ответ: при 1000 часах: P(t) = 0,8665, Q(t) = 0,1335;
при 2000 часах: P(t) = 0,1335, Q(t) = 0,8665;
при 3000 часах: P(t) = 0,0005, Q(t) = 0,9995.
Задача 4.5. Среднее квадратическое отклонение ресурса равно 400 часам, коэффициент вариации 0,3. Определить показатели надежности для наработок 1000 часов, 2000 часов, 3000 часов.
Решение: Выразим математическое ожидание из формулы коэффициента вариации 6.
|
(6) |
.
= 1333,3 час.
Для t
= 1000 часов: Up
=
;
Ф(-0,833) = 0,2023; Q(t) = 0,2023; P(t) = 1 – 0,2023 = 0,7977.
Для t = 2000 часов: Up
=
;
Ф(1,667) = 0,9522;
Q(t) = 0,9522; P(t) = 1 – 0,9522 = 0,0478.
Для t
= 3000 часов: Up
=
;
Ф(4,167) ≈ 1;
Q(t) = 1; P(t) = 0.
Ответ: при 1000 часах: P(t) = 0,7977, Q(t) = 0,2023;
при 2000 часах: P(t) = 0,0478, Q(t) = 0,9522;
при 3000 часах: P(t) ≈ 0, Q(t) ≈ 1.
1.3 Определение количества отказавших изделий (Задачи 4.6 – 4.7)
Задача 4.6. На испытания установлено 200 задвижек. Через 1000 часов работы отказало 50 задвижек, через 2000 часов еще 20 задвижек. Определить количество отказавших задвижек в промежутке времени от 1500 часов до 3000 часов работы, если среднее квадратическое отклонение ресурса 500 часов.
Решение: Для нахождения математического ожидания Mt используем статистические данные первого периода (1000 часов), так как они позволяют однозначно определить положение центра распределения.
Вероятность отказа к 1000
часам: Q(1000)
=
= 0,25.
По таблице функции Лапласа значению 0,25 соответствует квантиль Up = -0,674.
Определим среднюю наработку Mt = t – Up ∙ σt = 1000 – (-0,674) ∙ 500 = 1337 час.
Определим вероятности отказа на границах искомого интервала:
При t
= 1500 часов: Up
=
;
Ф(0,326) = 0,6279.
При t
= 3000 часов: Up
=
;
Ф(3,326) ≈ 0,9995.
Вероятность отказа в интервале от 1500 до 3000 часов ΔQ = Q(3000) – Q(1500) = 0,9995 – 0,6279 = 0,3716.
Количество отказавших задвижек в этом интервале n = ΔQ ∙ N = 0,3716 ∙ 200 = 74,32 ≈ 74 изд.
Ответ: в промежутке от 1500 до 3000 часов откажет 74 задвижки.
Задача 4.7. На испытания установлено 100 долот. Через 150 часов работы отказало 50 долот, через 50 часов еще 2 долота. Определить количество отказавших долот в промежутке времени от 200 часов до 250 часов работы, если коэффициент вариации ресурса 0,1.
Решение: Вероятность
отказа Q(150)
=
= 0,5. Для нормального закона это значение
соответствует медиане, следовательно,
средняя наработка Mt
= 150 час.
Найдем среднее квадратическое отклонение σt = vx ∙ Mt = 0,1 ∙ 150 = 15 час. Рассчитаем теоретические вероятности отказа на границах интервала:
При t
= 200 часов: Up
=
;
Ф(3,33) ≈ 0,9995.
При t
= 250 часов: Up
=
;
Ф(6,67) ≈ 1,0000.
Количество отказавших долот n = (Q(250) – Q(200)) ∙ N = (1 – 0,9995) ∙ 100 = 0,05 ≈ 0 изд.
Ответ: 0 изделий. Полученный результат обусловлен тем, что при коэффициенте вариации 0,1 рассеивание ресурса минимально, и практически все изделия (99,95%) теоретически отказывают до наработки 200 часов.