Перечень сокращений и обозначений

В настоящем отчёте о практической работе применяют следующие сокращения и обозначения:

НИР	– научно-исследовательская работа
P(t)	– вероятность безотказной работы
Q(t)	– вероятность отказа
f(t)	– плотность вероятности отказов
λ(t)	– интенсивность отказов
Mt	– математическое ожидание (средняя наработка до отказа)
σt	– среднеквадратическое отклонение наработки
vx	– коэффициент вариации ресурса (наработки)
Up	– квантиль нормированного нормального распределения
Ф(Up)	– функция Лапласа
α	– параметр формы закона распределения Вейбулла
λ	– параметр масштаба закона Вейбулла (или постоянная интенсивность отказов при экспоненциальном законе)
N0	– общее количество изделий, поставленных на испытания
n(t)	– количество отказавших изделий
t	– время наработки

Введение

Надежность технических систем является одним из важнейших показателей качества, определяющим способность объектов выполнять свои функции в течение заданного времени. Для точной оценки и прогнозирования надежности на практике широко используются вероятностно-статистические методы, базирующиеся на выборе адекватного математического описания процесса возникновения отказов [1, 2].

Особую роль при расчетах играет закон распределения случайной величины наработки до отказа, так как именно он определяет вид аналитических зависимостей для показателей безотказности. Нормальный закон применяется для описания постепенных отказов, связанных с износом в период старения; экспоненциальный закон описывает внезапные отказы в период нормальной эксплуатации при постоянной интенсивности; а закон распределения Вейбулла является универсальным аппаратом, позволяющим моделировать различные этапы жизненного цикла изделий [3]. Ключевыми расчетными показателями в данных моделях выступают вероятность безотказной работы, вероятность отказа, интенсивность отказов и средняя наработка на отказ.

Целью практической работы является освоение методики определения единичных и комплексных показателей надежности при различных законах распределения наработки. В ходе работы требуется изучить соответствующие аналитические выражения, самостоятельно провести расчеты вероятности безотказной работы и отказа, а также других характеристик для заданных условий, опираясь на функции нормального распределения и формулы экспоненциального и вейбулловского законов [4-6].

1. Расчет показателей надежности при нормальном законе распределения

1. 1.1 Определение наработки по заданной вероятности и предельных состояний (Задачи 4.1 – 4.3)

Задача 4.1. По результатам наблюдений за работой объекта средняя наработка до отказа равна 2000 часов, среднеквадратическое отклонение 400 часов. Определить значения наработок до отказа, которые соответствуют вероятности отказа 0,9; 0,5; 0,005. Закон распределения отказов – нормальный.

Решение: Значение наработки до отказа t при известной вероятности отказа Q(t) для нормального закона определяется через квантиль нормированного нормального распределения Up по формуле 1.

t = Mt + Up ∙ σt,

(1)

где U_p находится из таблиц функции Лапласа как аргумент, при котором Ф(U_p) = Q(t).

Для вероятности отказа Q(t) = 0,9: U_p = 1,28 (по таблице Ф(1,28) ≈ 0,9);

t = 2000 + 1,28 ∙ 400 = 2512 час.

Для вероятности отказа Q(t) = 0,5: U_p = 0 (по таблице Ф(0) = 0,5);

t = 2000 + 0 ∙ 400 = 2000 час.

Для вероятности отказа Q(t) = 0,005: U_p = -2,575 (по таблице Ф(-2,575) ≈ 0,005);

t = 2000 + (-2,575) ∙ 400 = 2000 - 1030 = 970 час.

Ответ: при Q(t) = 0,9 наработка t = 2512 час; при Q(t) = 0,5 наработка t = 2000 час; при Q(t) = 0,005 наработка t = 970 час.

Задача 4.2. Предельно допустимое значение ресурса составляет 7000 часов, среднее квадратическое отклонение 1000 часов. Определить средний ресурс, вероятность отказа и вероятность безотказной работы при 5000 часах.

Решение: Примем заданное предельно допустимое значение ресурса за верхнюю границу рассеивания наработки, которая для нормального закона обычно соответствует M_t + 3σ_t (правило трёх сигм). Определим средний ресурс по выражению 2.

Mt = Tпред – 3 ∙ σt .

(2)

M_t = 7000 – 3 ∙ 1000 = 4000 час.

Для наработки 5000 часов определим квантиль согласно формуле 3.

.

(3)

;

Ф(U_p) = Ф(1,0) = 0,8413.

Вероятность отказа при наработке 5000 часов: Q(t) = Ф(U_p) = 0,8413.

Вероятность безотказной работы: P(t) = 1 – Ф(U_p) = 1 – 0,8413 = 0,1587.

Ответ: средний ресурс M_t = 4000 час; при 5000 часах: Q(t) = 0,8413; P(t) = 0,1587.

Задача 4.3. В результате изучения процесса изнашивания клыка роторного экскаватора установлено, что средняя величина износа соответствует 5 мм, дисперсия 0,01 мм2. Какова вероятность того, что найденное значение износа превышает среднее, не более чем на 5 %.

Решение: Среднее квадратическое отклонение равно корню из дисперсии, как в формуле 4.

σt = √D.

(4)

σ_t = √0,01 = 0,1 мм.

Значение износа, превышающее среднее на 5 %, по формуле 2 составляет t = M_t + 0,05 ∙ M_t = 5 + 0,05 ∙ 5 = 5,25 мм.

Найдем вероятность того, что износ не превысит 5,25 мм (вероятность отказа в смысле превышения допуска) по формуле 3.

; Q(t) = Ф(U_p) = Ф(2,5) = 0,9938.

Ответ: вероятность того, что износ превысит среднее не более чем на 5 %, составляет 99,38 %.