1.3 Метод Монте-Карло

Теоретическое обоснование. Сущность метода Монте-Карло состоит в построении вероятностного аналога исследуемой задачи, реализации её случайным образом и рассмотрении полученных результатов в качестве приближённого решения [2]. Метод является численным; его применение особенно эффективно, когда аналитическое решение невозможно или трудоёмко.

Решение задачи моделирования методом Монте-Карло делится на два этапа:

1) формализация описания процесса и построение модельного алгоритма;

2) программная реализация и статистическая обработка результатов.

На первом этапе на основе изучения процесса составляют перечень операций, определяют числовые значения параметров и разрабатывают алгоритм моделирования.

На втором этапе по алгоритму составляют программу для ЦВМ, проводят заданное число реализаций и статистически обрабатывают результаты. Точность оценки растёт пропорционально , где N – число реализаций, поэтому для получения высокой точности требуется большое число испытаний.

Практический пример. Требуется оценить вероятность безотказной работы FM-передатчика в течение t = 1000 ч, если интенсивность отказов λ = 2·10⁻⁴ ч⁻¹.

Аналитическое решение: P(t) = e^−λt = e^−0,2 ≈ 0,8187.

Методом Монте-Карло: генерируется N = 10 000 реализаций, в каждой разыгрывается время до отказа по экспоненциальному закону t_i = . Доля реализаций, в которых t_i > 1000, даёт оценку P(t). При N = 10 000 получаем P̂ ≈ 0,819, что хорошо согласуется с аналитическим значением.

Рисунок 1 – Схема метода Монте-Карло для оценки надёжности, сходимость метода при P(t = 1000 ч.)

1.4 Способы моделирования случайных событий

Теоретическое обоснование. При статистическом моделировании случайные события появляются в соответствии с заданными вероятностями p₁, p₂, ..., pₙ. Для моделирования полной группы несовместных событий отрезок [0, 1] разбивается на n интервалов, длина каждого из которых равна вероятности соответствующего события. Попадание случайного числа R_j в i-й интервал интерпретируется как свершение события A_i. Формально это сводится к проверке условия 3.

.

(3)

Для частного случая двух исходов (событие A с вероятностью p и событие Ā с вероятностью 1 − p) процесс сводится к однократной проверке:

– если R_j < p(A), фиксируется свершение события A,

– иначе – Ā.

Аналогичные принципы применяются и при моделировании зависимых случайных событий, когда вероятности обусловлены предысторией.

Практический пример. В FM-передатчике возможны четыре типа отказов: отказ модулятора (p₁ = 0,1), отказ усилителя мощности (p₂ = 0,3), отказ блока питания (p₃ = 0,2), отказ системы охлаждения (p₄ = 0,4).

Получено случайное число R_j = 0,5. Интервалы: [0; 0,1), [0,1; 0,4), [0,4; 0,6), [0,6; 1,0]. Поскольку 0,4 ≤ 0,5 < 0,6, фиксируется отказ блока питания – событие A₃. Данный подход позволяет при моделировании автоматически разыгрывать тип отказа в каждом испытании.

Рисунок 2 – Разбиение отрезка [0, 1] на интервалы для моделирования случайных событий

1.5 Способ формирования равномерно распределённых случайных чисел

Теоретическое обоснование. При статистическом моделировании используют случайные числа, равномерно распределённые в интервале [0, 1]. На практике их вырабатывают двумя способами:

а) схемными (аппаратными) датчиками, генерирующими истинно случайные числа на основе физических процессов;

б) программными методами, формирующими псевдослучайные числа (ПСЧ) по детерминированным алгоритмам.

Программный метод является основным благодаря простоте реализации и воспроизводимости результатов.

Основным программным методом является метод вычетов.

Достоинства ПСЧ: скорость генерации, воспроизводимость последовательности при заданном начальном значении x₀, компактность программы.

Недостатки: периодичность последовательности, детерминированность (числа не являются случайными).

Для получения случайных величин с произвольным законом распределения используется метод обратного преобразования: если y_i = F(x_i) равномерно распределено на [0, 1], то x_i = F⁻¹(y_i) имеет функцию распределения F(x).

Например, для показательного закона x_i = .

Практический пример. Для моделирования времени между отказами FM-передатчика (экспоненциальное распределение с λ = 2·10⁻⁴ ч⁻¹) формируется последовательность ПСЧ y_i методом вычетов, а затем каждое преобразуется t_i = −5000 · ln(1 − y_i).

Полученные значения t_i представляют собой реализацию интервалов между отказами, используемых в дальнейших расчётах надёжности.

Рисунок 3 – Метод обратного преобразования для получения случайных чисел с заданным распределением