1.6 Схема моделирования системы для решения задач надёжности

Теоретическое обоснование. Решение задачи надёжности методом статистического моделирования осуществляется по следующей схеме [3]. Задаётся интервал времени Δt = . Для каждого шага Δt определяют состояние всех элементов системы в соответствии с законами распределения времени безотказной работы – генерируется случайное число R_j и сравнивается с вероятностью безотказной работы P_i(Δt) элемента.

Если R_j ≤ P_i(Δt), элемент считается исправным; иначе – отказавшим.

По совокупности состояний элементов определяется рабочее состояние системы в данный момент.

Процесс повторяется для каждого Δt до достижения заданного времени t и для заданного числа реализаций N. По результатам всех реализаций оцениваются вероятности состояний P_i(t) и вычисляется эффективность системы (4).

,

(4)

где E_i – эффективность i-го состояния.

Если данные эффективности отсутствуют, используется P_c(t) = ΣPi(t).

Алгоритм включает: определение состояний элементов, выбор наиболее эффективной комбинации исправных элементов, проверку числа просмотренных элементов и числа реализаций, а также проверку достижения заданного времени моделирования .

Практический пример. Для ЦВМ, выполняющей задачи обработки радиосигналов, состоящей из N = 5 блоков (процессор, память, канал ввода-вывода, блок питания, система охлаждения), требуется определить вероятность нахождения в каждом из возможных состояний за t = 1000 ч. Каждый блок имеет вероятность безотказной работы P_i(Δt) за шаг Δt = 10 ч.

В каждой реализации для каждого блока генерируется R_j и определяется его состояние; по совокупности состояний фиксируется номер рабочего состояния системы. После N = 5000 реализаций вычисляются оценки P_i(t).

Рисунок 4 – Блок-схема алгоритма статистического моделирования надёжности системы

1.7 Модели массового обслуживания и способы решения задач

Теоретическое обоснование. Для решения задач надёжности широко используют методы теории массового обслуживания . Если поступление заявок задаётся потоком с интенсивностью λ, а время обслуживания – случайной величиной с интенсивностью μ, задача надёжности сводится к определению вероятностей нахождения системы в различных состояниях [4]. Система находится в нулевом состоянии, если не занята обслуживанием (период безотказной работы); в состоянии 1 – занята обслуживанием одной заявки; в состоянии N – в очереди N заявок.

Для моделирования задаются два массива случайных чисел: {t_i} – время обслуживания i-й заявки и {Q_j} – интервал между поступлением j-й и (j+1)-й заявок.

В процессе моделирования возникает три случая:

а) ΔA < 0 – заявка поступила до окончания обслуживания предыдущей (увеличение очереди);

б) ΔA > 0 – обслуживание закончилось до прихода новой заявки (уменьшение очереди);

в) ΔA = 0 – совпадение моментов. Для каждого состояния накапливается суммарное время пребывания, по которому определяются вероятности p_i = .

Дополнительно определяются средняя длина очереди n_ср = Σp_i · i и среднее время ожидания T_ср = Σ T_i · P[T = T_i], где n_i – число заявок с временем ожидания T_i, n_общ – общее число заявок.

Данная модель позволяет также оценить пропускную способность системы и требуемый объём ресурсов.

Практический пример. Ремонтная служба радиопередающего центра обслуживает заявки на ремонт FM-передатчиков. Интенсивность поступления заявок λ = 0,1 ч⁻¹ (в среднем 1 заявка за 10 ч), интенсивность обслуживания μ = 0,2 ч⁻¹ (среднее время ремонта 5 ч). Моделирование СМО с одной линией обслуживания позволяет оценить среднюю длину очереди n_ср ≈ = 0,5 заявки и среднее время ожидания T_ср ≈ = 5 ч.

Результаты показывают, что при данных параметрах очередь невелика, однако при увеличении λ (например, при массовом выходе из строя аппаратуры после грозы) очередь может значительно возрасти.

Рисунок 5 – Диаграмма переходов системы массового обслуживания, реализация процесса изменения очереди в ремонтной службе (СМО)