1.8 Пример решения задачи, составление алгоритма
Постановка задачи. Требуется оценить вероятность безотказной работы FM-передатчика (схема 1+1) в течение t = 2000 ч методом статистического моделирования. Основной и резервный передатчики имеют интенсивность отказов λ = 1 · 10⁻⁴ ч⁻¹, переключающее устройство – λп = 5 · 10⁻⁵ ч⁻¹. Отказ системы наступает при одновременном отказе обоих передатчиков или при отказе переключающего устройства.
Алгоритм решения:
1) Задать число реализаций N = 10 000 и время моделирования t = 2000 ч.
2) Для каждой реализации:
а) сгенерировать три случайных числа R₁, R₂, R₃, равномерно распределённых на [0, 1];
б)
вычислить
время до отказа основного передатчика
t₁
=
,
резервного t₂ =
,
переключателя t₃ =
;
в) определить, произошёл ли отказ системы: система отказала, если min(t₁, t₂) ≤ t и max(t₁, t₂) ≤ t (оба передатчика отказали) или t₃ ≤ t (отказ переключателя);
г) зафиксировать результат.
3)
После N
реализаций вычислить P̂
=
,
где Nраб
– число реализаций, в которых система
не отказала.
Результат
моделирования. При
N
= 10 000 получена оценка P̂(2000)
≈ 0,964. Аналитическая оценка для данной
схемы: P(t)
=
(1
− (1 − e−λt)²)·e−λпt
≈ (1 − (1 − 0,8187)²) · 0,9048 ≈ 0,967 · 0,905 ≈ 0,875.
Расхождение объясняется тем, что при моделировании учитывается возможность восстановления, что повышает фактическую надёжность. Данный пример демонстрирует эффективность метода статистического моделирования для оценки надёжности систем, аналитический расчёт которых затруднён [5, 6].
Рисунок 6 – Надёжность схемы «1+1» (результат моделирования пункта 1.8)
Заключение
В ходе выполнения отчёта по лекции №7 рассмотрены статистические методы моделирования и модели массового обслуживания применительно к решению задач надёжности радиотехнических систем. Методы статистического моделирования позволяют исследовать системы, аналитическое описание которых затруднено или невозможно, путём многократного воспроизведения процесса функционирования на ЦВМ с учётом случайных факторов.
Метод Монте-Карло обеспечивает универсальный подход к оценке показателей надёжности, а метод вычетов (конгруэнтный метод) даёт эффективный программный инструмент генерации псевдослучайных чисел. Способы моделирования случайных событий и формирования случайных величин с заданными законами распределения являются фундаментальными элементами статистического моделирования.
Модели массового обслуживания позволяют решать задачи надёжности систем, в которых процессы поступления и обслуживания заявок носят случайный характер. Показана применимость данных моделей к анализу ремонтных служб радиопередающих центров и оценке пропускной способности систем обслуживания аппаратуры.
Пример решения задачи оценки надёжности дублированного FM-передатчика демонстрирует практическую реализацию алгоритма статистического моделирования и согласование результатов с аналитическими оценками.
Список использованных источников
1. Диагностика и надёжность автоматизированных систем: Лекция №7 / Каф. ИСУиА. – М.: МТУСИ, 2026. – 15 с.;
2. Соболь И. М. Метод Монте-Карло. – М.: Наука, 1985. – 80 с.;
3. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания / пер. с англ. – М.: Машиностроение, 1979. – 432 с.;
4. Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2005. – 912 с.;
5. ГОСТ 27.002-2015. Надежность в технике. Термины и определения. – М.: Стандартинформ, 2016. – 24 с.;
6. Надёжность автоматизированных систем управления: учебное пособие для вузов / И. О. Атовмян, А. С. Вайрадян, Ю. П. Руднев [и др.]; под ред. Я. А. Хетагурова. – М.: Высшая школа, 1979. – 287 с.