1. Теоретико-практическая часть

1.1 Методы статистического моделирования

Теоретическое обоснование. Известные методы моделирования – математический, физический и геометрический – не всегда применимы к исследованию надёжности сложных систем. Математический подход требует аналитического описания процесса, что не всегда осуществимо; физическое моделирование сопряжено с большими материальными затратами на натурное воспроизведение. В таких случаях единственным способом исследования является моделирование процесса функционирования на ЦВМ . При этом функционирование сложной системы раскладывается на ряд элементарных процессов, каждый из которых описывается аналитически или логическими условиями, а затем в заданной последовательности воспроизводится на ЦВМ.

Статистическое моделирование основано на многократном воспроизведении процесса функционирования системы с учётом случайных факторов и последующей статистической обработке результатов. Влияние случайных факторов учитывается введением случайности путём «бросания жребия» – выбора значений случайных величин из заданных распределений [1]. При этом возникают две основные задачи:

а) моделирование случайных событий с заданными вероятностями;

б) получение случайных величин с заданным законом распределения.

Практический пример. При оценке надёжности FM-передающего центра, состоящего из нескольких передатчиков и систем коммутации, аналитическое описание всех возможных состояний системы затруднено из-за большого числа элементов и случайного характера отказов. Статистическое моделирование позволяет воспроизвести на ЦВМ тысячи реализаций процесса эксплуатации, в каждой из которых разыгрываются моменты отказов и восстановлений элементов, и по результатам определить оценки показателей надёжности.

1.2 Метод вычетов

Теоретическое обоснование. Метод вычетов (конгруэнтный метод) является основным программным методом формирования псевдослучайных чисел (ПСЧ) с равномерным законом распределения на отрезке [0, 1]. Каждое последующее число x_n+1 получается из предыдущего x_n по рекуррентной формуле 1.

xn+1 = k·xn (mod(m)) ,

(1)

где k – множитель,

m – модуль.

Операция mod(m) означает взятие остатка от деления на m. Поскольку разрядная сетка ЦВМ конечна, получаемая последовательность является периодической с периодом, не превышающим 2ⁿ, где n – число двоичных разрядов.

Если принять x₀ = 1, k = 5^2s+1, m = 2ⁿ, то период последовательности ПСЧ составит 2^n–2.

Модификация метода – линейный конгруэнтный генератор (2).

xn+1 = (k·xn + k')·(mod(m)),

(2)

где 4k' + 1 = k, что увеличивает период последовательности в четыре раза.

Для получения чисел в интервале [0, 1] значение x_n+1 нормализуется делением на m.

Практический пример. Для моделирования надёжности FM-передатчика требуется последовательность из 10 000 ПСЧ. При 32-разрядной сетке (n = 32) максимальный период мультипликативного генератора составляет 2³⁰ ≈ 1,07 · 10⁹, что более чем достаточно. Проверку ПСЧ на равномерность и случайность осуществляют критериями χ² и Колмогорова-Смирнова.