ПРИМЕР.
“X-1=4” – НЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ (НЕИЗВЕСТНО, КАКИЕ ЗНАЧЕНИЯ ПРИНИМАЕТ ).
“СТУДЕНТ ВТОРОГО КУРСА” НЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ (НЕ УТВЕРЖДЕНИЕМ).
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ –
ВЫСКАЗЫВАНИЯ, ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ ОДНО УТВЕРЖДЕНИЕ, НЕ МОГУТ БЫТЬ ВЫРАЖЕНЫ ЧЕРЕЗ ДРУГИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ.
СОСТАВНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ МОЖНО ВЫРАЗИТЬ ИЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ СВЯЗОК «НЕ», «И», ИЛИ», «ЕСЛИ ТО».
“ЧИСЛО 22 ЧЕТНОЕ” – ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ.
10/25/2024
21
ПРИМЕР
ЕСЛИ БУДЕТ ХОРОШАЯ ПОГОДА ТО МЫ ПОЙДЕМ ГУЛЯТЬ.
А=”ХОРОШАЯ ПОГОДА” |
|
||||
В=”ПЛОХАЯ ПОГОДА” |
высказывание |
||||
|
|
|
|
||
1 |
4 |
3 |
2 |
не является |
|
истинным |
|||||
(A→B) (A→BA) |
|||||
|
|||||
A |
B |
A→B |
BA |
A→BA |
(A→B) (A→BA) |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
ДВА ОСНОВНЫХ ПОДХОДА К УСТАНОВЛЕНИЮ ИСТИННОСТИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
ЭМПИРИЧЕСКИЙ ПОДХОД: ИСТИННОСТЬ ВЫСКАЗЫВАНИЯ УСТАНАВЛИВАЕТСЯ С ПОМОЩЬЮ НАБЛЮДЕНИЙ, ИЗМЕРЕНИЙ, ПРОВЕДЕНИЕМ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.
ЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД: ИСТИННОСТЬ ВЫСКАЗЫВАНИЯ УСТАНАВЛИВАЕТСЯ НА ОСНОВЕ ИСТИННОСТИ ДРУГИХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ, ТО ЕСТЬ ФОРМАЛЬНО.
ЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД ОСНОВАН НА ВЫЯВЛЕНИИ И ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ, ВХОДЯЩИМИ В РАССУЖДЕНИЕ.
10/25/2024
23
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛВ
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ - РАЗДЕЛ ЛОГИКИ, В КОТОРОМ ВОПРОС ОБ ИСТИННОСТИ ИЛИ ЛОЖНОСТИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ РЕШАЕТСЯ НА ОСНОВЕ ИЗУЧЕНИЯ СПОСОБА ПОСТРОЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ИЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ .
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ – ЭТО АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, ИНТЕРПРЕТАЦИЕЙ КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ.
10/25/2024
24
Исчисление высказываний
Высказывание – утверждение о математических объектах, которому можно однозначно приписать истинностное значение – ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Обозначения: |
ИСТИНА, |
Т, |
И, |
1 |
|
ЛОЖЬ, |
F, |
Л, |
0. |
Рассматриваем следующие операции над этими двумя значениями: , , , ,
Операции можно задать с помощью следующих таблиц (таблицы истинности)
10/25/2024
a |
b |
a b |
a b |
a |
a b |
a b |
|
|
|
|
|
|
|
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
И |
|
|
|
|
|
|
|
Л |
И |
Л |
И |
|
И |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
И |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
И |
И |
И |
И |
|
И |
И |
|
|
|
|
|
|
|
Легко проверить, что множество { И, Л } образует решетку относительно операций и , при этом, если рассмотреть операцию в качестве операции дополнения, то эта решетка представляет собой Булеву алгебру с 0 = Л и 1 = И.
25
ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ И ИХ ОБОЗНАЧЕНИЯ
ОТРИЦАНИЕМ ВЫСКАЗЫВАНИЯ P НАЗЫВАЕТСЯ ВЫСКАЗЫВАНИЕ P (ИЛИ P), КОТОРОЕ ИСТИННО ТОЛЬКО ТОГДА КОГДА P ЛОЖНО.
ПРИМЕР
ВЫСКАЗЫВАНИЕ
«НЕПРАВДА, ЧТО ИДЁТ СНЕГ» -ОТРИЦАНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ «ИДЁТ СНЕГ».
Конъюнкция высказываний p и q - высказывание, которое истинно только тогда, когда p и q истинны, т.е. p = 1 и q = 1.
Пример
Чтобы успешно сдать экзамен, нужно иметь при себе зачётку и правильно ответить на вопросы. Для успешной сдачи экзамена нужно выполнить оба условия.
Если обозначить как p –«иметь зачётку»
q – «правильно ответить на вопросы», то условием сдачи будет конъюнкция высказываний p & q.
ИМПЛИКАЦИЕЙ ВЫСКАЗЫВАНИЙ P И Q
НАЗЫВАЕТСЯ ВЫСКАЗЫВАНИЕ, КОТОРОЕ ЛОЖНО
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА P ИСТИННО, Q ЛОЖНО, Т.Е. P = 1 И Q =0 (ИЗ P СЛЕДУЕТ Q).
ПРИМЕР.
ВЫШЕПРИВЕДЁННЫЙ ПРИМЕР С УСПЕШНОЙ СДАЧЕЙ ЭКЗАМЕНА МОЖНО ЗАПИСАТЬ КАК P&QR, ГДЕ R – «УСПЕШНО СДАТЬ ЭКЗАМЕН».
10/25/2024
28
ЗНАЧЕНИЯ ИСТИННОСТИ ДЛЯ БИНАРНЫХ СВЯЗОК
ДИЗЪЮНКЦИЕЙ ВЫСКАЗЫВАНИЙ P И Q -
ВЫСКАЗЫВАНИЕ, КОТОРОЕ ЛОЖНО ТОГДА И
ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОБА ВЫСКАЗЫВАНИЯ ЛОЖНЫ, Т. Е. P = 0 И Q =0.
Пример.
(7 >3 или 4 1) =1;
(или sin2x имеет период 2 , или 2 – рациональное число) = 0.