ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
ИВ (исчислением высказываний) - формальная
система, порождающая высказывания, которые
являются тавтологиями . Формальная система ИВ
определяется:
ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ В ИВ:
ОТРИЦАНИЕ, КОНЪЮНКЦИЯ, ДИЗЪЮНКЦИЯ, ИМПЛИКАЦИЯ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ.
10/25/2024
31
ПРИОРИТЕТ СВЯЗОК ИВ
|
Символы отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, |
|
импликация и эквивалентность называются |
|
пропозициональными связками или связками |
|
исчисления высказываний. |
|
Приоритет или ранг связок . |
10/25/2024
32
АЛФАВИТ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
– любое непустое множество, элементы которого есть символы трех категорий:
СИМВОЛЫ ПЕРВОЙ КАТЕГОРИИ:
ПЕРЕМЕННЫМИ ВЫСКАЗЫВАНИЯ – БУКВЫ ЛАТИНСКОГО АЛФАВИТА С ИНДЕКСОМ ИЛИ БЕЗ НЕГО.
СИМВОЛЫ ВТОРОЙ КАТЕГОРИИ:
ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ.
ТРЕТЬЮ КАТЕГОРИЮ СОСТАВЛЯЕТ ПАРА СИМВОЛОВ
( ), НАЗЫВАЕМАЯ СКОБКАМИ ИЛИ РАЗДЕЛИТЕЛЬ.
ДРУГИХ СИМВОЛОВ ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ НЕ ИМЕЕТ
10/25/2024
33
ФОРМУЛЫ В ИВ
ФОРМУЛА – ПРАВИЛЬНО ПОСТРОЕННАЯ СОСТАВНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ
1) ВСЯКАЯ БУКВА ЕСТЬ ФОРМУЛА.
2) ЕСЛИ А, В , - ФОРМУЛЫ, ТО ФОРМУЛАМИ
,, , , .
ПОДФОРМУЛА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФОРМУЛЫ ЯВЛЯЕТСЯ
ОНА САМА ФОРМУЛА.
ЕСЛИ ФОРМУЛА ИМЕЕТ ВИД (А*В)(ЗДЕСЬ И В ДАЛЬНЕЙШЕМ ПОД СИМВОЛОМ * БУДЕМ ПОНИМАТЬ ЛЮБОЙ ИЗ ТРЕХ СИМВОЛОВ ), ТО ЕЕ ПОДФОРМУЛАМИ ЯВЛЯЮТСЯ: ОНА САМА, ФОРМУЛЫ А И В И ВСЕ ПОДФОРМУЛЫ ФОРМУЛ А И В.
10/25/2024
34
ЗАМЕЧАНИЕ КОГДА ГОВОРЯТ О ДЛИНЕ ФОРМУЛЫ, ИМЕЮТ В ВИДУ ДЛИНУ ПОДРАЗУМЕВАЕМОЙ (ВОССТАНАВЛИВАЕМОЙ) ФОРМУЛЫ, А НЕ СОКРАЩЁННОЙ ЗАПИСИ.
означает формулу
её длина равна 12
10/25/2024
35
КЛАССИФИКАЦИЯ ФОРМУЛ
ФОРМУЛА НАЗЫВАЕТСЯ ТАВТОЛОГИЕЙ, ЕСЛИ ОНА ПРИНИМАЕТ ТОЛЬКО ИСТИННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПРИ ЛЮБЫХ ЗНАЧЕНИЯХ БУКВ.
ФОРМУЛА ЛОЖНАЯ ПРИ ЛЮБЫХ ЗНАЧЕНИЯХ БУКВ НАЗЫВАЕТСЯ ПРОТИВОРЕЧИЕМ
Формула называется выполнимой, если на некотором наборе распределения истинностных значений переменных она принимает значение И.
Формула называется опровержимой, если при некотором распределении истинностных значений переменных она принимает значение Л.
КОНКРЕТНЫЙ НАБОР ИСТИННОСТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ,
ПРИПИСАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ НАЗЫВАЕТСЯ
ИНТЕРПРЕТАЦИЕЙ ФОРМУЛЫ
ФОРМУЛА НАЗЫВАЕТСЯ ОБЩЕЗНАЧИМОЙ, ЕСЛИ ОНА ИСТИННА В ЛЮБОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ.
10/25/2024
36
Формулы исчисления высказываний
Рассмотрим понятие переменной – a, b, c,… x, y,…
Будем строить формулы, последовательно вводя операции над константами И и Л и переменными:
• Атомарная формула |
x, И, Л |
|
• Отрицание |
( F), где F - формула |
|
• Конъюнкция |
(F1 |
F2), где F1, F2 - формулы |
• Дизъюнкция |
(F1 |
F2), где F1, F2 - формулы |
• Следование |
(F1 |
F2), где F1, F2 - формулы |
• Эквивалентность |
(F1 |
F2), где F1, F2 - формулы |
Учитывая приоритеты операций и их ассоциативность (слева направо), будем опускать «лишние» скобки.
Примеры формул исчисления высказываний:
1. |
a a |
3. |
a a |
2. |
(a b) (a b) |
4. |
a b a b |
Для заданной формулы F обозначим Var(F) - множество входящих в формулу переменных. Интерпретация формулы – функция на Var(F) I : Var(F) { И, Л }
Если задана интерпретация, то можно вычислить значение формулы Val(F, I) { И, Л }
Тавтология – формула, истинная в любой интерпретации: Val(F, I) = И для любой I Противоречие – формула, ложная в любой интерпретации: Val(F, I) = Л для любой I
(1), (4) – примеры тавтологий; (3) – противоречие; (2) – ни тавтология, ни противоречие
10/25/2024
37
Логическое следствие и эквивалентность формул
Говорят, что формула B является логическим следствием формулы A (запись: A B), если в любой интерпретации, в которой истинна формула A, формула B также истинна.
Например:
a a b
a b a b
Говорят, что формулы A и B эквивалентны, если A B и B A (запись: A B ). Можно еще сказать, что две формулы эквивалентны, если они в любой интерпретации одновременно истинны или одновременно ложны.
Например:
a a a a
a b a b
10/25/2024
Три теоремы:
Теорема 1 (связь между логическим следствием и операцией логического следования): A B тогда и только тогда, когда формула A B – тавтология.
Теорема 2 (связь между эквивалентностью формул и операцией логической эквивалентности): A B тогда и только тогда, когда формула A B – тавтология.
Теорема 3 (о подстановке): если в некоторой формуле подставить вместо некоторой подформулы эквивалентную ей подформулу, то получившаяся формула будет эквивалентна исходной.
Доказательство всех трех теорем очевидно. |
38 |
|
|
Кубенский А.А. Дискретная математика. |
|
Глава 2. Элементы математической логики.
Представление логических функций в стандартных формах
Логическая функция – это функция логических переменных и логическим результатом.
f : B B … B B, |
где B = { И, Л } |
Логическую функцию можно задавать с помощью формул исчисления высказываний,
например: f(a, b, c) = (a b) c
Верно ли, что любую логическую функцию можно задать с помощью формулы?
Определение: формула вида a1 a2 … ak, где каждый ai – это переменная или ее отрицание,
называется дизъюнктивным термом.
Формула, представляющая собой дизъюнкцию дизъюнктивных термов, называется формулой в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ).
Например, следующие формулы находятся в ДНФ:
10/25/2024
(a b) ( a b) |
a |
a b c b |
Следующие формулы не находятся в ДНФ:
a ( b a) |
(a b) c |
Если в каждом дизъюнктивном терме ДНФ содержатся все переменные формулы, то такая ДНФ называется совершенной (СДНФ).
Дизъюнктивная нормальная форма:
содержит только операции , ,
всегда может быть записана без скобок
39
Разложение булевой функции по переменной
РАЗЛОЖЕНИЕ
x |
k |
|
ПОЗВОЛЯЕТ ПРЕДСТАВИТЬ
ПРОИЗВОЛЬНУЮ ФУНКЦИЮf ВИДЕ
(x |
,..., x |
n |
) |
1 |
|
|
В
f (x |
,...,x |
n |
) x |
k |
p(x |
,...,x |
k 1 |
, x |
k 1 |
,...,x |
n |
) x |
k |
q(x |
,...,x |
k 1 |
, x |
k 1 |
,...,x |
n |
) |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
P И Q – ФУНКЦИИ,
НЕ ЗАВИСЯЩИЕ
ОТx
k
.
ПРИМЕР. |
F(x |
, x |
, x |
3 |
1 |
2 |
|
ФУНКЦИЯ РАЗЛОЖЕНА
)
ПО
x1 x |
2 |
x x |
2 |
x3 |
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
x |
1 |
ПЕРЕМЕННОЙ |
|||||
|
|
||
q(x2 ) x2 |
p(x2 , x3 ) x2 |
x |
3 |