5_УМК

Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберем λ так, чтобы для значений x и y , соответствующих экстремуму функции z, вторая скобка в равенстве (1.36) обратилась в нуль:

с тремя неизвестными x, y, λ . Из этих уравнений определяем x, y и λ .

Из вывода следует, что уравнения (1.37) являются необходимыми условиями условного экстремума, но не при всяких x, y и λ , удовлетворяющих уравнениям (1.37), будет иметь место условный экстремум. Поэтому требуется дополнительное исследование характера критической точки.

Заметим, что левые части уравнений системы (1.37) являются частными

по переменным x , y и λ .

Таким образом, для того чтобы найти значения x и y , удовлетворяющие условию (1.33), при которых функция z = f(x, y) может иметь условный макси-

мум или условный минимум, нужно составить вспомогательную функцию (1.38), приравнять к нулю ее частные производные по x, y,λ и из полученной системы уравнений (1.37) определить искомые x, y и вспомогательный множитель λ .

Отметим, что λ называют множителем Лагранжа, а сам метод решения задачи - методом множителей Лагранжа.

Рассмотренный метод распространяется на исследование условного экстремума функции любого числа переменных.

Пусть требуется найти экстремумы функции n переменных

u = f(x1 , x2 ,..., xn ) при условии, что переменные x1 , x2 ,..., xn связаны m

(m < n) уравнениями

31

Составим функцию F(x1 , x2 ,K, x n , λ1 , λ2 ,K, λm ) = f (x1 , x2 ,K, x n ) +

+ λ1ϕ1 (x1 ,K, xn )+K+λm ϕm (x1 ,K, xn ) и приравняем нулю ее частные производные по x1 , x2 ,K, xn :

Из систем уравнений (1.38) и (1.39) определяем x1 , x2 ,K, xn и вспомога-

тельные неизвестные λ1 ,λ 2 ,K,λm . Так же как и для функции двух переменных,

вопрос о том, будет ли при найденных значениях x1 , x2 ,K, xn функция иметь максимум или минимум или не будет иметь ни того, ни другого, мы в общем слу-

чае оставляем открытым. На практике само содержание задачи помогает опреде-

лить характер критической точки.

ПРИМЕР 1.20 Из данного куска жести площадью 2a надо сделать закры-

тую коробку в форме параллелепипеда, имеющую наибольший объем.

Найдем ее частные производные и приравняем их нулю:

32

Задача сводится к решению системы четырех уравнений с четырьмя неиз-

вестными x, y, z,λ . Для решения этой системы умножим первое из уравнений

(1.43) на x , второе - на y , третье - на z, сложим их и с учетом равенства (1.41)

находим λ = − 3xyz . Найденное значение λ подставим в первые три уравнения

рой функция (1.40) может иметь максимум или минимум. Так как поставленная задача имеет определенное решение, а критическая точка только одна, то в этой точке функция будет иметь максимум. Итак, для того чтобы объем коробки был

a

наибольшим, эта коробка должна быть кубом, ребро которого равно .

3

33

1.15 ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Пусть задана дифференцируемая функция u = u(x, y, z) . Рассмотрим точку

M(x, y, z) и вектор a , выходящий из точки M в направлении единичного векто-

ра

a0 = cosα i + cosβ j + cos γ k ,

где α,β, γ − углы, образованные вектором a0 с осями координат.

Пусть M1 (x + x, y + y, z + z) − какая-нибудь другая точка вектора a . Разность значений функции u = u(x, y, z) в точках M1 и M назовем прира-

направлению a положительна, то данная функция в этом направлении возрастает;

если же ∂u < 0 , то данная функция в направлении вектора a убывает.

∂a

Выведем формулу для вычисления производной по направлению. Прежде всего заметим, что приращения x, y, z координаты точки M связаны с дли-

ной отрезка M1 M = a и направляющими косинусами вектора a следующими соотношениями (рис. 1.8):

34

Следствие. Из формулы (1.48) следует, что частные производные функции

Так, например, если a = i = {1,0,0}, то есть cosα = 1, cosβ = 0, cos γ = 0 и,

∂u = ∂u

следовательно, ∂a ∂x .

∂u

Замечание Производная по направлению ∂a , вычисленная в т. M 0 − это

скорость изменения функции u = u(x, y, z) в направлении вектора a в данной

точке.

ПРИМЕР 1.21 Найти производную функции u = xy + yz + 1 по направле-

Решение. Найдем частные производные функции u = x2 + y2 :

36

тор биссектрисы первого координатного угла - это вектор, который составляет с положительными направлениями осей Ox и Oy углы α = 450 и β = 450 . Значит

1.16 ГРАДИЕНТ

Пусть задана дифференцируемая функция трех переменных u = u(x, y, z) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.24 Вектор, координатами которого являются частные

производные первого порядка функции u = u(x, y, z) в точке M(x, y, z) , называ-

ется градиентом данной функции и обозначается:

37

ПРИМЕР 1.23 В каком направлении должна двигаться точка M(x, y, z) при

наибольшей скоростью?

Решение. В соответствии со следствием 1 функция u = u(x, y, z) будет ме-

няться с наибольшей скоростью в направлении вектора grad u , координаты кото-

рого вычислены в точке M 0 . Итак, находим частные производные