5_УМК

111

Задание №10

Найти условные экстремумы функции при заданном уравнении связи

112

113

прямой 3 x − 4 − 9 = 0 .

2)Канал имеет в сечении равнобочную трапецию, площадь которой задана

иравна S . Определить глубину канала и угол α так, чтобы периметр, смоченный водой, был наименьшим.

3)Найти объем наибольшего прямоугольного параллелепипеда, который можно вписать в эллипсоид с полуосями a, b, c .

4)Найти прямоугольный параллелепипед данной поверхности S , имеющий наименьший объем.

5)Около данного эллипса описать треугольник с основанием, параллельным большой оси, площадь которой была бы наименьшей.

6)В данный шар диаметром 2 R вписать прямоугольный параллелепипед

наибольшего объема.

114

7)На плоскости 0xy найти точку, сумма квадратов расстояний которой от 3-х прямых x = 0, y = 0, x + 2 y −16 = 0 была бы наименьшей.

8)На параболе x 2 + 2 x + 4 y = 0 найти точку, наименее удаленную от пря-

мой 3 x − 3y + 9 = 0 .

9)Указать наружные размеры открытого ящика формы прямоугольного параллелепипеда с заданной толщиной стенок α и объемом V , чтобы на него было израсходовано наименьшее количество материала.

ла координат.

11)Найти наибольший объем параллелепипеда при данной сумме ребер, равной 12 a .

12)Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой. При каких соотношениях между линейными размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном объеме?

13)Найти прямоугольный параллелепипед данного объема V , имеющий наименьшую поверхность.

14)Среди всех треугольников данного периметра 2 ρ найти треугольник

наибольшей площади.

15)На параболе 2 x 2 − 4 x y + 2 y 2 − x − y = 0 найти точку, ближайшую к прямой 9 x − 7 y + 16 = 0 .

16)Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную диагональ L , найти тот, объем которого наибольший.

17)Определить размеры конуса наименьшей боковой поверхности, если задан объем, равный V .

18)Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью S найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.

19)К поверхности x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 11 провести касательные плоскости, параллельные плоскости x + y + z = 1.

20) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

z= 1 + x 2 + y 2 в точке M (1;1; 3).

21)Стоимость сооружения 1м2 стен фасада равна ρ, а 1м2 остальных стен

− q , стоимость крыши за 1м2 ее основания − S. Каковы должны быть соотноше-

ния между длиной, шириной, высотой для углового дома объемом V м3 , чтобы стоимость его стен и крыши была наименьшей?

22) Определить размеры прямоугольного бассейна данного объема V так, чтобы на облицовку его поверхности потребовалось бы наименьшее количество материала.

115

23)В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.

24)На плоскости 0xy найти такую точку P , сумма расстояний которой до

точек A (−1; 2; 6) и B (11; −16;10) была бы наименьшей.

25)На плоскости 2 x − 3 y + 3 z −17 = 0 найти такую точку P , сумма расстояний которой до точек A (3; − 4; 7); B (− 5; −14;17) была бы наименьшей.

26)Найти точку треугольника A (0; 0) B (1; 0) C (0;1), сумма квадратов расстояний которой до его вершин имеет наименьшее значение.

27)Найти точку четырехугольника (0; 0); (a; 0); (a; a); (0; 2 a) , сумма квад-

ратов расстояний которой до его вершин имеет наименьшее значение.

28)Определить размеры открытого ящика с данным объемом V и с наименьшей поверхностью.

29)Из всех треугольников, вписанных в круг радиуса R , найти тот, площадь которого наибольшая.

30)Из всех прямоугольников с заданной площадью S найти такой, периметр которого имеет наименьшее значение.

116

3.4 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «Метод наименьших квадратов»

Пусть в результате некоторого эксперимента получены данные в виде чисел записанных в таблицу 3.4.1:

вается обычно или из теоретических соображений или визуально, исследуя расположение n точек (x1 , y1 ),(x2 , y2 ),K,(xn , yn ) на плоскости XOY .

Наиболее часто в качестве подбираемой функции используют следующие функции:

а) полином: f (x) = a 0 + a1 x + a 2 x2 + a 3 x3 +K+a m x m = Pm (x);

б) дробно-рациональную: f(x) = Pm (x) ;

Qn (x)

в) экспоненциальную: ( ) = m k ( k ); (3.4.1)

x

b

exp

a

f x ∑

k =1

г) логарифмическую и другие функции,

где a 0 , a1 ,K, a m , b1 , b2 ,K, bm − числа, заранее неизвестные. И задача заключается именно в нахождении этих чисел.

Замечание:

1. Если нет никаких теоретических указаний о виде зависимости y = f(x),

то следует искать наиболее простую формулу, содержащую как можно меньшее количество параметров a i ,bi ;

2. Полное совпадение с данными эксперимента и не желательно, т.к. определяемая функция будет повторять ошибки экспериментатора.

Существует много различных методов нахождения коэффициентов a 0 , a1 ,K, a m , b1 ,K, b m . Они излагаются в учебниках по численным методам математики, там же излагаются их достоинства и недостатки. Здесь будет рассмотрен один из этих методов - метод наименьших квадратов.

Итак, имеем y = f (x, a 0 , a1 ,K, a m ) − функцию многих переменных, кото-

рая зависит от x и еще нескольких неизвестных величин a 0 , a1 ,K, a m . Составим новую функцию

Φ = Φ(a 0 , a1 ,K, a m ) = (y1 − f(x1 , a 0 , a1 ,K, a m ))2 +

+ (y2 − f(x2 , a 0 , a1 ,K, a m ))2 +K+(yn − f(xn , a 0 , a1 ,K, a m ))2 =

117

Φ = Φ(a 0 , a1 ,K, a m ) имела наименьшее значение. Иными словами, отклонение

экспериментальных точек от теоретической кривой должно быть минимальным. Применяем необходимое условие экстремума функции нескольких пере-

менных:

(m + 1) − м неизвестными a 0 , a1 ,K, a m . В каждом конкретном случае исследует-

ся вопрос о существовании решения этой системы, единственности этого решения и о наличии минимума функции Φ = Φ(a 0 , a1 ,K, a m ) при полученных значени-

ях величин a 0 , a1 ,K, a m .

Рассмотрим частные случаи подбираемой функции y = f(x). 1. Пусть y = f (x) − полином 1-й степени, т.е.

y = f (x, a 0 , a1 ) = a 0 + a1 x . График этой функции есть прямая линия. В этом случае вспомогательная функция Φ = Φ(a 0 , a1 ) есть функция двух переменных и имеет вид:

Тогда система (3.4.2) будет представлена следующими двумя уравнениями:

Тогда система (3.4.5) принимает вид:

118