Утверждения

1)( | ) = 0

2)(Ω| ) = 1

3)( | ) = 1 − ( | )

5)( 1 2| ) = ( 1| ) + ( 2| ) − ( 1 ∩ 2| ) (для совместных событий)

6)Если 1; 2 – несовместные, то ( 1 2| ) =

7)Если не зависит от , то не зависит от

8), – независимы ( ∩ ) = ( ) · ( )

Определение (независимые в совокупности)

Утверждение

Если 1, ... , – неравные(?) в совокупности, то события попарно независимы (обратное

неверно)

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Теорема (формула полной вероятности)

Ω, ,, 1, ..., (полная группа): 1 ... = Ω, где ∩ = , ≠

( ) = ∑ ( | ) · ( )

=1

Следствие (формула Байеса)

(| )· ( )

( | ) =

∑(| )· ( )

=1

Пример (ФНП)

В первой урне 3 белых 5 черных шаров, во второй 2 белых 3 черных шара. Из первой во

вторую переложили 2 шара. После этого из второй урны вытащили 1 шар. Какова вероятность, что он белый?

Решение:

(гипотеза) – переложили 2 белых

(гипотеза) – переложили 2 черных (гипотеза) – переложили 1 белый 1 черный

Проверка: – верно

Пример (формула Байеса)