2024 ТВИМС ИДЗ 2

Задание 1. Дана функция распределения случайной величины ξ:

x

(−∞, − 3] (−3, − 2] (−2, − 1] (−1,1] (1, − ∞)

Fξ(x)

0

1/7

3/7

6/7

1

Вычислить Eξ, Dξ, Hξ (в натах). Вычислить распределение η

= ξ3. Построить графики функций

распределений Fξ(x) и Fη(y).

Решение. .

Pi

−3

−2

−1

1

P

x

1/7

2/7

3/7

1/7

1

1)

i:Xpi

1

2

3

1

9

= −3 · 7 + (−2) · 7 + (−1)

· 7 + 1 · 7 = −7

Eξ =

ai · pi

>0

Hξ = −

pXi

· ln (pi)

>0

pi

Hξ = −(

1

1

2

2

3

3

1

1

· ln

+

· ln

+

· ln

+

· ln

) ≈ 1.277

7

7

7

7

7

7

7

7

η = ξ3;

ξ

−3

−2

−1

1

3

1

ξ

−27

−8

−1

−∞

∞

1

Z−∞ exp(−|x + 3|) =

C

Z−3

exp(−x − 3) = −e−x−3

∞

= 0 − (−1) = 1

3

∞

−

−3

3

−

= 1 − 0 = 1

Z−∞ exp(x + 3) = ex+3

1

−∞

1

C

= 1 + 1 C =

2

1)

∞

∞

1

1

∞

−3

1

Eξ = Z−∞ x·pξ(x)dx = Z−∞ x·

·exp(−|x+3|)dx =

(Z−3

x·exp(−x−3)dx+Z−∞ x·exp(x+3)dx) =

·(−2+(−4)) = −3

2

2

2

2)

Dξ = Eξ2 − (Eξ)2

∞

∞

−3

1

1

1

E(ξ2) =

·Z−∞ x2

·exp(−|x+ 3|) =

(Z−3

x2 ·exp(−x−3)dx+ Z−∞ x2

·exp(x+ 3)dx) =

·(5 + 17) = 11

2

2

2

3)

Dξ = 11 − 9 = 2

∞ 1

1

Hξ = − Z−∞

exp(−|x + 3|) · ln (

exp(−|x + 3|))dx =

2

2

1

∞

1

−3

1

= −

(Z−3

exp(−x − 3) ln (

exp(−x − 3))dx + Z−∞ exp(x + 3) ln (

exp(x + 3))dx) =

2

2

2

1

= −

· (− ln(2) − 1 + (− ln(2) − 1)) = −(− ln(2) − 1) ≈ 1.693

2

Распределение

Fξ(x) [0; 1]

x (−∞; −3) Fξ(x) = Z−∞

2 exp(x + 3)dx =

2

x

1

exp(x + 3)

−3 1

x 1

1

1

1

exp(

x

3)

x (−3; ∞) Fξ(x) = Z−∞

exp(x+3)dx+Z−3

exp (−x − 3)dx =

·(1+1−exp(−x−3)) =

+

−

−

−

=

2

2

2

2

2

2

= 1

−

exp(−x − 3)

(1

2

x ( 3;

ξ

exp(−x−3)

,

)

exp(x+3)

, x (−∞; −3)

F (x) =

2

−

−

∞

2

Fη(y) = P(η < y) = P(ξ3 < y) = P(ξ < √3

)

y

1

pη(y) = |(g−1(y))′| · pξ(g−1(y))

y (−∞; −27) pη(y) =

· exp(y + 3)

6

3

y2

y

( 27; + )

p (y) =

p

exp( y 3)

− ∞ η

1

· − −

6

3

y2

p

(y) =

exp(−|y + 3|)

, y

( p

; +

)

η

6 3

y2

−∞

∞

p

, y

(−∞; −27]

F

(y) =

2

3

exp(−

, y

η

(1

√y−3)

[ 27;

)

3

exp( √y+3)

−

−

∞

2