Для равномерного распределения на отрезке |
[ ; ] функция |
распределения ( ) |
|||||||
определяется следующим образом: |
|||||||||
( ) = |
0 |
|
|
, |
|
< |
|
|
|
( ) = |
|
, при |
|
≤ ≤ |
|
|
|||
− |
|
|
|
|
|
||||
−, при |
|
|
|
||||||
( ) = |
1 |
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|||
Для нашей задачи: |
|
|
|
||||||
( ) = |
0 |
|
|
, |
|
<− 4 |
|
|
|
( ) = |
|
, при |
|
[− 4; 3] |
|
|
|||
+4 |
|
|
|
|
|
||||
|
,7 |
при |
|
|
|
||||
( ) = |
1 |
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
> 3 |
|
|
|||
Задание 9
С.в. ξ распределена по закону Пуассона с дисперсией равной 1. Найти (ξ > 2).
ξ = ξ = λ
{ξ = } = −λ λ
!
(ξ > 2) = 1 − (ξ ≤ 2) = 1 − (ξ = 0) − (ξ = 1) − (ξ = 2)
Ну дальше все смогут подставить значения
Задание 10
Случайные величины ξ и η являются независимыми и распределенными по равномерному
закону распределения на отрезках [0; 3] и [− 2; 4]. Найти (ξη)
(ξη) |
= |
ξ · η |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
ξ( ) |
= |
3 |
, [0; 3], |
ξ( ) = |
31 |
, ξ = |
∫ |
3 |
= 1. 5 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
η( ) |
= |
+26 |
, |
[− 2; 4], η( ) |
= |
61 |
, η = ∫ |
6 |
= 1 |
||||||
(ξη) |
= |
1. 5 |
· 1 |
= 1. |
5 |
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задание 11
Привести пример зависимых случайных дискретных величин с коэффициентом корреляции равным 0.
ρ = (ξ,η)ξ· η
Чтобы коэффициент корреляции был равен 0, (ξ, η) = 0
Пример (ваще не уверен) η = ξ2
Задание 12
ξ = 3, ξ = 4. Оценить {|ξ − 3| > 4}
Неравенство Чебышева
ε > 0 ξ : ξ <+ ∞
{|ξ − ξ| > ε} ≤ |
ξ |
|||
ε2 |
||||
В нашем случае |
|
|
||
{|ξ − 3| > 4} |
≤ |
164 |
|
|
Задание 13
Случайная величина ξ имеет плотность равную ( ) = { −5, > 2} {0, < 2}. Найти начальный момент четвертого порядка.
Начальный момент n-го порядка находится как математическое ожидание n-ой степени
случайной величины.
+∞
(ξ) = ∫ · −5
|
|
2 |
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(ξ4) = |
∫ 4 · −5 = ∫ |
|
= · lim→+∞ ln( ) − · ln(2) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
С.в. |
ξ имеет равномерное распределение на интервале [− 2; 4]. Найти распределение с.в. |
|||||||||||||||
η = |2ξ + 5| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ξ( ) = |
|
+26 |
, [− 2; 4] |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
η = 2ξ + 5, ξ = |
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2−5 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−5+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
η( ) = |
|
|
12 |
= |
12 |
, |
[0; (13)] |
|
[− 5; 7] |
|
η |
|
||||
Задание 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
С.в. |
ξ |
имеет равномерное распределение на интервале |
, с.в. |
имеет плотность |
||||||||||||
распределения |
η( ) = |
+ 1, [0; 2]; 0, . |
Найти коэффициент корреляции этих |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
случайных величин.
2
∫ + 1 = 2 + 2 = 1, = − 12
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
ξ( ) |
= |
12+5 |
, [− 5; 7], |
ξ( ) |
= |
121 |
, |
[− 5; 7], ξ( ) = |
∫ |
12 |
= |
11924 |
|||||||||||
|
|
7 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
ξ( 2) |
= ∫ |
12 |
= |
185336 |
, ξ( ) = 15487576 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η( ) = |
∫(1 |
|
− |
21 |
) |
= |
32 |
, η( 2) |
= |
∫(1 − |
21 |
) 2 = |
32 |
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Хзη(как) =дальше9 |
=делать− |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задание 16
Закон распределения двумерной случайной величины задан таблицей. Найти {ξ + 2η > 5}
Нас устраивают пары значений (ξ, η) = (0, 3), (2, 2), (2, 3). Ищем пересечения в таблице и получаем {ξ + 2η > 5} = 0, 1 + 0, 1 + 0, 2 = 0, 4
Задание 17
Для случайных величины из пункта 16, найти {ξ|η = 3}
(ξ = | η = ) = |
(ξ = ,η = ) |
|||||||||
|
(η = ) |
|
|
|
|
|
||||
{ξ|η = |
} |
= ∑ · (ξ = |η = ) |
||||||||
{ξ|η = |
3} |
= − 1 · |
0,60,3 |
+ 0 · |
0,60,1 |
+ 2 · |
0,60,2 |
= |
61 |
|
Задание 18
Для случайных величин из пункта 16 найти (ξ|η)(1, 3)
(ξ|η)( , ) |
= |
(ξ ≤ |η = ) = |
|
(ξ≤ , η= ) |
||
|
(η= ) |
|||||
(ξ ≤ 1, η = |
3) = 0, 1 + 0, 3 = |
0, 4, (η = 3) = 0, 3 + 0, 1 + 0, 2 = 0, 6 |
||||
(ξ|η)(1, 3) |
= |
0,60,4 |
= |
32 |
|
|
Задание 19
По графику плотности распределения СВ определить ее мат ожидание
???
так это же плотность для неубывающей вероятности ,а у нас тут она и убывает, и потом
дискретной становится и что делац
может надо перерисовать как то график так, что бы она были дискретной. у дискретной св нет плотности
Задание 22
Двумерный случайный вектор задан своей плотность (ξ,η)( , ) = на области
= {( , ) 2} {0 ≤ < ≤ 1}
Вычислить (2ξ, η)
+∞
(2ξ,η) = ∫ · 2ξ |η( , ) −∞
(2ξ | )( , ) = |
(2ξ, η)( , ) |
η( ) |
График условия D:
Перепишу условие
= { − ≤ 0}{ ≥ 0; ≤ 1}(ξ,η)( , ) = { , ( , ) } {0, }
0 ≤ ≤ 1
0 ≤ ≤ 1
11
(ξ,η) = ∫ ∫ → = 2
(η)( ) = ∫ 2 = 2
0
(2ξ | η)( , ) = |
2·22 |
= |
2 |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
||
(2ξ,η) |
= ∫ |
2 |
= |
|
|1 = |
1 |
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|