Физика / Материалы с практики (Чистякова) / Распределение Максвелла. примеры задач
.pdf
Распределение Максвелла по скоростям
Мы знаем, что газ состоит из отдельных молекул, а температура газа определяется суммарной кинетической энергией молекул. Но какие значения имеют энергии (скорости) каждой отдельной молекулы? Эту задачу решил Джеймс Клерк Максвелл – он посчитал сколько холодных, средних и горячих молекул в баночке с газом определенной температуры.
N
Число молекул
средние
холодные |
горячие |
v
Скорость
Распределение Максвелла по скоростям
Число молекул со скоростями в |
Общее число молекул |
Ширина интервала |
интервале от v до v+dv |
|
|
|
= |
|
Функция распределения - плотность вероятности того, что частица обладает скоростью в интервале от v до v+dv делить на ширину интервала
Распределение Максвелла по скоростям
Функция распределения по скоростям – это вероятность для частицы обладать скоростью в интервале от v до v+dv, деленная на ширину интервала dv.
=
- Отношение числа частиц попавших в интервал к общему числу частиц к ширине интервала.
Формулу для функции распределения частиц по модулям скорости предложил Дж К Максвелл
|
|
3/2 |
2 |
|
− |
2 |
= 4 |
|
|
|
2 |
||
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Распределение Максвелла по скоростям
! Очень удобно использовать распределение по относительным скоростям u=v/vнв
( ) = 4 −2 2
Пример
Используя закон распределения по скоростям, найдите формулу наиболее вероятной скорости - vнв
Используем метод поиска экстремума – найдем производную и приравняем к 0:
( ) |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
= 4 |
2 |
− |
2 − |
2 |
= 0 |
|||||
2 |
||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
нв = |
2 |
|
|
Пример |
Получите функцию распределения по кинетическим энергиям f(e) |
В функции распределения по скоростям четко прослеживается конструкция для кинетической энергии:
|
|
3/2 |
2 |
|
− |
2 |
Однако просто так заменить квадраты скоростей |
||||
= 4 |
|
|
|
2 |
на энергию нельзя ! |
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нужно также заменить dv через de: |
|
|
|
= |
2 |
= |
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменим f(v) и dv через f(e) и de в выражении для числа частиц: |
|
|
= |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||
= 2 ( )−3/2 3/2 − /
Пример
Используя закон распределения по скоростям, найдите формулу средней скорости.
В статистике есть метод поиска средних величин с использованием функции распределения:
∞
ср = |
|
|
Идея та же, что и все сложить и поделить на общее количество |
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
Например, средняя скорость: |
ср = |
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
Например, средний квадрат скорости: |
Например, средняя энергия: |
||||
|
|
∞ |
|
|
∞ |
2 ср = |
2 |
ср = |
|
||
|
|
0 |
|
|
0 |
Для некоторых интегралов есть табличные варианты, другие нужно считать численно.
Посчитаем среднюю скорость:
|
∞ |
|
|
3/2 |
|
−2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
||||
= |
|
4 |
|
3 |
|
|
2 = |
|
|
|
|
|
|||||
ср |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Используем эту табличку:
Пример
Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре 400 К, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не больше чем на 5м\с.
N
Площадь под кривой - число молекул со скоростями в интервале vнв+-dv
! Если интервал скоростей мал, то можно использовать приближенную формулу:
∆ = нв ∆ = 0.0046
vнв |
v |
∆ = 2 ‼ |
|
2dv
Пример |
Какая часть молекул газа имеет скорость от 0 до vнв? |
Площадь под кривой - число молекул со скоростями в интервале от 0 до vнв
N
vнв
! Здесь интервал скоростей большой, поэтому нужно интегрировать:
∆ |
|
|
4 |
1 |
|
= |
− 2 2 |
||||
|
|
||||
|
0 |
||||
|
|
|
|
Этот интеграл в конечном виде не берется! |
|
|
|
|
|
Поэтому варианты: использовать численное |
|
|
|
|
|
интегрирование в мат пакете, разложить |
|
|
|
|
|
подынтегральное выражение в ряд |
|
v |
|
|
Маклорена и взять 3-4 члена, использовать |
||
|
|
специальные графики для функции |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
распределения. |
|