Добавил:

PickyEater13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

Физика общая

Файл:

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ТЕМУ СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2024

Размер:

331.14 Кб

Скачать

☆

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ ПО ТЕМЕ

« Специальная теория относительности»

Краткая теория СТО Постулаты Эйнштейна:

1.Первый постулат. Принцип относительности: никакие опыты (механические, электрические, оптические), проведённые внутри данной инерциальной системы отсчёта, не дают возможности обнаружить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно. Все законы природы инвариантны, то есть не меняются при переходе от одной системы отсчёта к другой.

2.Второй постулат. Независимость скорости света от скорости источника: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчёта.

Преобразования Лоренца:

Прямые преобразования К→К':

Обратные преобразования К'→ К:

x vt

1 2

y y ,

z z ,

t x

1 2

m v

– основное уравнение релятивистской динамики.

v 2

Приращение

кинетической

энергии

частицы пропорционально

приращению её релятивистской массы: dEk = с2dm= c2 d

v 2

c 2

2 m2c4

p2c2

E m2c4

p2c2 –

связь

полной

энергии и

импульса.

2Е Е

– связь

импульса

кинетической

энергии

0 k

релятивистской частицы.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Задача № 1. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы 0' 10нс.

Найти путь, пройденный этой частицей до распада в лабораторной системе отсчета, если ее время жизни в ней 20нс.

Решение задачи

Дано:

0 ` = 10 нс; = 20 нс.

s - ?
Очевидно, что
s=v .	(1)

Поскольку собственное время 0`, показанное покоящимися часами, связано с временем , показанное движущимися часами, соотношением

0` =	1	v2	,	(2)
0` =	1	c2	,	(2)
		c2
то, решая уравнение (2), получим

v2		[ 2 (				0	`)2 ]c2
	=					0				.			(3)
	=				2					.			(3)
					2
Отсюда

			1				2
	v = c								.				(4)
	v = c					(		`)2	.				(4)
								0
Подставим (4) в (1) и получим числовой результат

s=c	1			2			= 5,1 м.						(5)
s=c	1		(		`)2		= 5,1 м.						(5)
					0

										Ответ: s=c	1	2
														= 5,1 м.
												(	`)2	= 5,1 м.
													0

Задача № 2. Две частицы, двигавшиеся в S- системе отсчета по одной прямой с одинаковой скоростью v = 4/5 c, попали в неподвижную мишень с промежутком времениt = 5*10-9 с (в данной системе отсчета). Каким было собственное расстояние между частицами до попадания в мишень?

Решение задачи

Дано :

v = 4/5 c; t = 5*10-9 c; l0`-?

Расстояние между частицами в S – системе отсчета

l=v t. (1)

Свяжем S`-отсчета с частицами. Поскольку лоренцево сокращение длины

l= l0` 1 2 ,

(2)

то, решая уравнение (2) с учетом (1), получим для «собственного» расстояния l0` между частицами до попадания в мишень

l0`=

v t

2 м.

(3)

1 2

Ответ: l0`=

v t

2 м.

1 2

Задача № 3. В S- системе отсчета находится неподвижный стержень длины l0 = 1,00 м, ориентированный под углом = 450 к оси OX. Найти длину стержня в S` - системе

отсчета, движущейся относительно системы S со скоростью v =

Решение задачи

Дано:

l0` = 1, 00 м; = 450; l` -?

вдоль оси OX.

Длина отрезка в системе отсчета S`

( x`)2 ( y`)2.

(1)

С учетом лоренцева сокращения

x`= x 1 2 .

(2)

y y`.

(3)

Учитывая, что

x l cos ,

(4)

y l sin ,

(5)

получим после несложных преобразований из уравнений (1-3)

l`= l 2 cos2 (1 2 ) l 2 sin 2

= l

1 2 cos2 = 0,94 м.

(6)

Тогда

tg `

1,155.

(7)

x 1 2

1 2

Отсюда: 490 .

Ответ: tg `

1,155 ;

490 .

1 2

Задача № 4. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями v1 = 0,5 с и v2 = 0,75 с по отношению к лабораторной системе отсчета. Найти их относительную скорость.

Решение задачи

Дано:

v1 = 0,5 c: v2 = 0,75 c;

u` - ?

Направим ось OX вдоль направления движения первой частицы. Свяжем с первой частицей S` систему отсчета. Под относительной скоростью понимается скорость, с которой одна из частиц движется в системе отсчета, связанной с другой из частиц, то есть требуется найти скорость второй частицы в S` системе отсчета.

Согласно релятивистскому закону сложения скоростей

u` =	u v		,	(1)

1		uv
		c2

где u`и u – скорости движения частиц соответственно в S` и S – системах отсчета. Тогда u = v2, а v = v 1 и, следовательно,

u` =	(v1 v2 )		- 0,91 c.	(2)

	1	v1v2
		c2

Знак «-» означает, что вторая частица движется в отрицательном направлении оси x` S` - системы.

Ответ: u` = (v1 v2 ) - 0,91 c.

1 v1v2 c2

Задача № 5. Две частицы движутся в S- системе отсчета под прямым углом друг к другу, причем первая со скоростью v1, а вторая со скоростью v2. Найти скорость одной частицы относительно другой.

Решение задачи

Дано:

v1 , v2 ; u` - ?

Пусть одна из частиц движется вдоль оси x. Тогда вторая частица движется вдоль оси y.Свяжем систему отсчета S` c частицей, движущейся вдоль оси x. Тогда скорость

второй частицы U`2 в системе S`- искомая скорость. Очевидно, что

U`2	= (u`			)2	(u`		)2 .	(1)
		2 x				2 y
Согласно релятивистскому закону сложения
скоростей проекция скорости движения частицы u`x								на
ось x` S` - систем
	u`x	ux v				,		(2)
	u`x	1	uxv			,		(2)
			uxv

				c2

а проекция скорости движения частицы u`y на ось y` S` - системы

u`y				u	y	1 2					,									(3)
					y

					1		uxv
							uxv
							c2
							c2
Тогда скорость движения системы S` относительно S v = v1, а проекция скорости второй
частицы на ось x u2x = 0, а u2y =v2. Следовательно, согласно (2) и (3)
			u2x `= - v1.																	(4)
											1		v12			.
u`2y = v2	1 2 v								2				v12							(5)
u`2y = v2	1 2 v																			(5)
													c2
													c2
Подставив (3) и (4) в (2), получим

U`2 =		v21				v		2		v12v2				2	.					(6)
U`2 =		v21				v		2							.					(6)
								2				c2
												c2
																	Ответ: U`2 =	v21 v	2		v12v2	2	.
																	Ответ: U`2 =	v21 v	2		c2		.
																			2

Задача № 6. В двух точках S-системы отсчета произошли два события, разделенные промежутком времени t . Показать, что если эти события причинно связаны в S-системе (например, попадание пули в мишень), то они причинно связаны и в любой другой инерциальной системе отсчета S`.

Решение задачи

Пусть в системе S действие-причина произошло в момент времени t1 в точке с координатой x1, а действие -следствие в момент времени t2 в точке с координатой x2. Тогда

t2-t1>0.	(1)
Используя преобразования Лоренца, получим

	t		vx2		t	vx1		(t			t ) (x				x )			v
	t				t			(t			t ) (x				x )
t`2-t`1=		2	c2		1	c2				2	1			2	1			c2	.	(2)

				1 2								1 2
				1 2								1 2
Поскольку
x2-x1=u(t2-t1),
где u –скорость распространения сигнала в системе S, то
							(t				t )(1		uv			)
							(t		2		t )(1					)
					t`2-t`1=				2		1		c2
													c2				.			(3)


											1 2

Поскольку v<c и u<c, то, так как (t2-t1)>0, то (t`2-t`1)>0, то есть, если события связаны причинно-следственной связью в системе S, то они причинно связаны в системе S`.


	dp
Задача № 7. Исходя из уравнения		F , найти:
	dt

а) в каких случаях ускорение частицы совпадает по направлению с действующей на нее

силой F .

в) коэффициенты пропорциональности между силой F и ускорением	a , когда	F	v и
			5


F	v	, где v - скорость частицы.

По второму закону Ньютона

dp F

Решение задачи


d (		m0v		)

	1		v2
	1		c2		.
			c2
		dt
		dt

После дифференцирования получим

m0v

(

) =

Поскольку a

, то a совпадает по направлению с F

несложных упрощений имеем

а)Если F

v , то

m0a

(1 2 )3

и коэффициент пропорциональности

				dv
dv	m0vv
					.
dt	c2 (1	v2	)3 / 2	dt

		c2

,если F v . Тогда после

	m0
Kпар =		.

	(1 2 )3


в)Если F	v , то

			m0a

		F				.

			(1		2 )
			(1		2 )
и коэффициент пропорциональности
		Кперп =			m0		.

				(1 2 )
				(1 2 )

Во втором законе Ньютона F		ma коэффициент пропорциональности m – инертная

масса тела, величина которой не зависит от направления действия силы. Поскольку в релятивистской механике коэффициент пропорциональности не отвечает этому требованию, то понятие инертной массы в релятивистской механике теряет смысл.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Коэффициент	m0		, как следует из соотношения Эйнштейна , играет роль меры

	(1	2 )
	(1	2 )
энергии.
				m0		m0
			Ответы: Kпар =		; Kпар =		.

				(1 2 )3		(1 2 )3

Задача № 8. Частица с массой покоя m0 движется вдоль оси x S – системы по закону

x= 2 c2t 2 , где - некоторая постоянная, с – скорость света, t – время. Найти силу, действующую на частицу, в этой системе отсчета.

Решение задачи

Запишем второй закон Ньютона

d (

m0v

)

(1)

Поскольку направление действия силы совпадает с направлением скорости, запишем

второй закон Ньютона в скалярном виде

F =

(

m0v

) .

(2)

Найдем зависимость скорости от времени

c2t

(3)

a2 c2t 2

Тогда

m c2t

(4)

Подставим (3) в (1) и продифференцируем по времени

m c2

(5)

m c2

Ответ: F=

Задача № 9. Найти скорость частицы, при которой кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя.

Решение задачи

Кинетическая энергия в релятивистской механике может быть найдена из соотношения

Ek=E-E0=m0c2(				1				1) .	(1)


					1 2
					1 2
Тогда
m0c2	(	1			1) =m0c2.				(2)


		2
	1	2
Отсюда
(	1				1) =1.				(3)


	1		v 2
	1		c2
			c2
Решая уравнение (2) относительно v, получим

		v =				3	c .		(4)
		v =					c .		(4)
				2
									7

Ответ: v = 23 c .

Задача № 10. Показать, что соотношение E2 – p2c2=m02c4 является инвариантом для инерциальных систем отсчета.

Решение задачи

Полная энергия частицы

m c2

(1)

Релятивистский импульс

m0v

p =

(2)

Из уравнения (2) найдем v2

v2=

2c2

(3)

p2 m 2c2

Подставим (3) в (1) и возведем в квадрат правую и левую части уравнения

m 2c4

E =

(4)

p2 m c2

После несложных преобразований получим

E2 –p2c2=m02c4.

(5)

Соотношение E2 –p2c2=m02c4 не зависит от скорости частицы, а следовательно, от системы

отсчета. Поэтому соотношение E2 –p2c2

действительно является инвариантом и имеет

одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета.

E2 –p2c2= inv.

(6)

Задача № 11. Получить формулу, связывающую импульс и кинетическую энергию в

релятивистской механике.

Решение задачи

В релятивистской механике полная энергия свободной частицы связана с импульсом

соотношением

E2-p2c2 =m02c4=const.

(1)

Полная энергия частицы

E=E0+ Ek ,

(2)

где E0 =m0c2 – энергия покоя частицы.

Перепишем уравнение (1) с учетом (2)

(E0 +Ek)2

–p2c2=E02.

(3)

После упрощения получим

2E0Ek+ Ek2 = p2c2 .

(4)

Отсюда

(2E E

) .

(5)

0 k

Ответ: P=

(2E E

) .

0 k

КАЧЕСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ

1. Согласно закону, открытому Халлом, галактики удаляются от нашей Галактики с очень большой скоростью. Может ли эта скорость равняться скорости света в вакууме?

2. Загадка Эйнштейна: Представьте себе бегуна, который несет перед собой в вытянутой реке зеркало. Увидит ли он свое изображение, если станет двигаться со скоростью, близкой к скорости света? Ответ обосновать.

3. Объяснить, почему при v = c преобразования Лоренца теряют смысл? 4. Как объясняется парадокс « близнецов»?

5. Выполняется ли в релятивистской механике третий закон Ньютона?

6. Имеет ли смысл в релятивистской механике понятие «инертной массы »?

7. Может ли в результате аннигиляции позитрона и электрона образоваться один фотон? 8. Можно ли связать систему отсчета с фотоном?

9. Стержень покоится в системе отсчета S` и расположен вдоль оси x`, которая движется

относительно системы S вдоль оси x со скоростью v.Какой наблюдатель : системы S или системы S` получит большую величину при измерении длины стержня.

10. Почему при нагревании тела на опыте не удается обнаружить увеличение его массы?

Соседние файлы в папке Материалы с практики (Чистякова)

#
27.11.2024550.87 Кб19Краткий конспект. Круговые процессы..pdf
#
27.11.2024495.72 Кб18МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ТЕМУ ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.pdf
#
27.11.2024331.14 Кб18МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ТЕМУ СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.pdf
#
27.11.2024409.56 Кб19МКТ. Краткий конспект+ примеры задач.pdf
#
27.11.2024232.27 Кб18Первое начало термодинамики. Краткий конспект.pdf
#
27.11.2024224.45 Кб18Поверхностное натяжение и капиллярный эффект. Краткий конспект.pdf
#
27.11.2024335.78 Кб18Разбор задач теста Динамика вращательного движения.pdf
#
27.11.2024268.19 Кб22Распределение Максвелла. примеры задач.pdf