Дипломная работа

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова"

Кафедра дифференциальных уравнений

¾Допустить к защите¿

Зав.кафедрой, д.ф.-м.н., профессор

Дипломная работа

Состояния равновесия и их устойчивость в системе трёх слабосвязанных осцилляторов

Научный руководитель к. ф.-м. наук, доцент

Студентка группы ПМИ-51СО

Ярославль 2013 г.

1

Введение

Задача о синхронизации цепочек осцилляторов при наличии различных видов связи всегда была достаточно популярна и актуальна с прикладной точки зрения [1-4]. Достаточно вспомнить задачу Гюйгенса о синхронизации двух связанных маятников. В своё время Гюйгенс продемонстрировал опыт, который в то время не получил достаточно убедительного объяснения с физической и математической точки зрения. В опыте Гюйгенса два маятника практически каждый раз синхронизировали автоколебания с разностью фаз, равной (противофазные циклы). Задача о колебаниях двух осцилляторов при наличии связи рассматривалась в большом числе работ. Достаточно вспомнить работы [1-8] и список работ, которые были в них процитированы.

В данной выпускной квалификационной работе рассматривается один из вариантов задачи о колебаниях трёх осцилляторов при наличии слабой связи. Этот вариант постановки заимствован из работы [9]. Данная работа дополняет результаты из статьи [9].

Следует сразу отметить, что в данной работе основное внимание уделено наличию циклов различной структуры. Кроме синхронного удаётся найти асимптотические и более сложные варианты циклов, которые, конечно, отличаются от стандартного цикла, когда все три осциллятора совершают колебания, которые полностью синхронизированы. Исследован вопрос об устойчивости всех найденных циклов.

2

1. Исследование нулевого состояния равновесия на устойчивость

В этом разделе рассмотрим вопрос об устойчивости нулевого состояния равновесия следующей системы уравнений второго порядка для U1(t); U2(t); U3(t):

Здесь ; a; R: При этом ; a > 0; а " (0; "0); 0 < "0 << 1:

Для того, чтобы исследовать поставленный вопрос, рассмотрим линеаризованный в нуле вариант системы дифференциальных уравнений (1.1), т.е. :

В системе (1.2) положим:

j = 1; 2; 3, а Vj C или R, т.е. Vj постоянные.

Справедливы равенства:

j = 1; 2; 3.

После подстановки равенств (1.3) с учётом (1.4) в систему дифференциальных уравнений (1.2) и сокращения на e t, получим линейную систему алгебраических уравнений:

3

Система алгебраических уравнений (1.5) имеет решение, отличное от нулевого, если её определитель равен нулю.

Предварительно вводя обозначение

2 2" + 1 = ;

В результате упрощения получим, что справедливо равенство:

откуда получаем уравнения для определения :

( 3")( ") = 0;

т.е. точки спектра устойчивости определяют как корни одного из трёх квадратных уравнений:

Так как " - мало, то

1 3" > 0; 1 " > 0:

4

Отметим, что 2 " > 0; если < 0; т.е. при таких выполняются условия Гурвица и для корней уравнений (1.6), (1.7), (1.8).

Поэтому справедливо неравенство:

Re < 0:

Теорема 1.1.

При < 0 нулевое решение системы (1.2) и, следовательно, (1.1), асимптотически устойчиво. Если же > 0, то нулевое решение неустойчиво.

5

2. Построение нормальной формы системы.

Рассмотрим систему нелинейных дифференциальных уравнений:

где 0<" << 1; a; ; R; a > 0:

Для построения вспомогательной системы дифференциальных уравнений первого порядка - нормальной формы - используем известный алгоритм построения нормальной формы, который ведёт своё начало от метода Крылова-Боголюбова. Его изложение можно найти в учебных пособиях и монографиях [10-12].

Решение системы уравнений (2.1) будем искать в следующем виде:

:

где xjk = xjk(t; s); j = 0; 1; 2; k = 1; 2; 3, а многоточием обозначены слагаемые, име-

3

ющие более высокий порядок малости, чем "2 . Наконец, s = "t - "медленное время".

Отметим, что справедливы следующие равенства:

j = 0; 1; 2; :::

6

Функции xj1(t; s); xj2(t; s); xj3(t; s) по переменным t имеют период 2 .

Выпишем схожие формулы для второй производной:

j = 0; 1; 2:::

Подставим равенства (2.2) с учётом правил вычисления производных по t. Приравни-

из трёх независимых уравнений второго порядка

Здесь и ниже точкой обозначается производная по t. Далее производная по s будет обозначаться штрихом, т.е. :

Сформируем систему уравнений, получающихся при степенях " :

7

3

Отметим, что системы уравнений при степени "2 и " одинаковы. Приравнивая слагае-

3

мые при "2 , получим неоднородную систему дифференциальных уравнений, состоящую из трёх уравнений для определения x21; x22; x23:

Уравнение (2.8) имеет 2 -периодическое решение, если выполняется равенство - условие разрешимости:

Z 2

'(t)e itdt = 0:

0

Отметим, что равенства R02 V (t)e itdt = 0 выделяют единственное решение уравнения (2.8).

Положим:

Подчеркнём, что при фиксированном s последние три функции удовлетворяют уравнениям (2.3). Наконец, в силу замечания следует в уравнениях (2.4) положить x11 = x12 =

8

x13 = 0. Вспомним, как произвести пересчёт производных в силу отмеченных выше формул.

Итак,

x00j = z10 (s)eit + z10 (s)e it:

Подставим равенства (2.9) в (2.5), (2.6), (2.7), уточнив вид x01; x02; x03:

Используя условие разрешимости (2.8), сформируем систему относительно zj0 = zj0 (s); j =

1; 2; 3. Отметим, что для комплексно сопряжённых функций zj(s); j = 1; 2; 3 получаем, конечно, комплексно сопряжённые для уравнений.

9