Дипломная работа

Заключение

В работе ставился вопрос о нахождении состояний равновесия системы трёх слабосвязанных осцилляторов и исследовании их на устойчивость. Для этого была построена вспомогательная система дифференциальных уравнений первого порядка - нормальная форма. В результате преобразования полученной нормальной формы мы пришли к системе из пяти дифференциальных уравнений, для которой находили возможные состояния равновесия.

Мы получили однородное состояние равновесия S1, где 1 = 2 = 0 = 1; = = 0 и определили, что оно будет устойчиво всегда. Помимо этого, мы рассмотрели два варианта состояний равновесия нормальной формы. Сведение задачи к исследованию нормальной формы позволило изучить вопрос об автоколебаниях исходной системы к анализу состояний равновесия системы дифференциальных уравнений, которую принято называть нормальной формой.

Вопрос о существовании состояния равновесия S2, где 1 = 3 = 0; 2 6= 0; = , был сведён к исследованию некоторой системы трансцендентных уравнений. В свою очередь, эта система была исследована численно. С помощью написанной программы выяснилось, что, в зависимости от параметра система в данном случае может иметь три, два или одно состояние равновесия. При наличии трёх состояний равновесия одно из них всегда будет сводиться к однородному случаю S1 и, следовательно, будет устойчиво. Другие же два состояния равновесия - неустойчивы. В случае двух состояний равновесия одно из них также сводится к устойчивому однородному, а другое вновь получается неустойчивым. И, наконец, если мы имеем единственное состояние равновесия, то оно с необходимостью будет однородным. Состояния равновесия типа S3, при которых 1 =3 = 0; 2 6= 0; + = , также исследуются численно и, в зависимости от , могут иметь одно или два состояния равновесия. В обоих случаях они будут неустойчивы.

31

Список литературы

[1]Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация: Фундаментальное нелинейное явление. М: Техносфера. 2003. 496 c.

[2]Avonson D. G., Ermentrout G.B., Kopell N. Amplitude Response of Coupled Oscillators// Phisika D. 1990. V.41. Р. 403-449

[3]Poliashenko M., Mckays S. R., Smith C. W. Hysteresis of syncronous - asynchronous regimes in a system of two coupled oscillators // Phys. Rev. A. 1991. V.49.

[4]Кузнецов А.П., Паксютов В.И. О динамике двух осцилляторов Ван дер Поля – Дуффинга с диссипативной связью. // Изв. вузов прикладная нелинейная динамика. 2003. Т.11. №6. С. 48-64.

[5]Прикладная математика и механика. Автомодельные циклы и их локальные бифуркации в задаче о двух слабосвязанных осцилляторах. 2010. Т.74. В.4. С. 543-559.

[6]Куликов Д.А. Периодические решения разностной аппроксимации уравнения Курамото-Цузуки // Дифференциальные уравнения. 2007. Т.43. № 7. С. 992-994.

[7]Куликов Д.А. Автомодельные периодические решения и бифуркации от них в задаче о взаимодействии двух слабосвязанных осцилляторов // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика. 2005. Т.5. С. 120-132.

[8]Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей.// М.: Наука. 1987. С. 7-44.

[9]Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина Л.В. Синхронизации и многочастотные колебания в цепочке фазовых осцилляторов. // Нелинейная динамика. 2010. Т.6. №4. С. 693-717.

[10]Глызин С.Д., Колесов А.Ю. Локальные методы анализа динамических систем.// Ярославль: ЯрГУ. 2006. 92 с.

[11]Бибиков Ю. Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений.// "Издательство Санкт-Петербургского университета". 2005. 276 с.

[12]Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Удм.ГУ. 2000. 368 с.

[13]Куликов Д.А. Знак ляпуновской величины в задаче о бифуркациях от однородного цикла.// Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. 2005. В.5. С. 46-55.

32