Дипломная работа
.pdf
4)cos = 1 ;
5)Если 3 > 0; то j = arccos( 1 );
если 3 < 0; то j = arccos( 1 );
6) 2 = 1 + jsin j;
0jp
0 = 1 + sin = 1 = 3;2j = j 0j:
Детализацию можно найти в Приложении 2.
В заключении отметим справедливость следующего утверждения.
Теорема 4.
Существует такое "0 > 0; что при всех " 2 (0; "0) каждому состоянию равновесия S2; S3 нормальной формы соответствует цикл системы дифференциальных уравнений (1.1) с наследованием свойств устойчивости.
20
Приложение 1
Рассмотрим более подробно первый асимметричный цикл. С помощью программы выявим различные случаи, в зависимости от параметра :
Как видно из графика, уравнение с переменной может иметь три корня, для каждого из которых необходимо найти состояние равновесия и проверить его на устойчивость.
21
Итак, при введённом параметре = 0; 25 в двух случаях мы имеем неустойчивое состояние равновесия, т.к. при вычислении определителя матрицы Якоби получаем положительные собственные значения, что видно из построенных графиков функции. А при = 1 имеем однородное состояние равновесия, которое будет устойчиво.
22
При параметре , равному 0,2, получаем аналогичный результат:
23
Исследуемое уравнение также может иметь два корня:
24
25
При этом один из корней будет вновь равен 1, при котором мы получаем устойчивое состояние равновесия. Другое же состояние равновесия будет неустойчиво.
И, наконец, последний случай, когда исследуемое нами уравнение имеет один корень, всегда равный единице, где мы всегда имеем устойчивое состояние равновесия.
26
Приложение 2
Рассмотрим более подробно второй асимметричный цикл и проанализируем возможные случаи.
Исследуемое уравнение с переменной может иметь два корня:
Как мы видим из графика, одним из корней вновь является единица, но в этом случае полученное состояние равновесия не будет устойчиво, так же, как и для второго корня.
27
Если уравнение имеет только один корень, то также, как и в предыдущем случае, он будет равен единице, но состояние равновесия не будет устойчивым, что можно наблюдать на примерах:
28
29