3) Консультационная фирма претендует на 2 заказа от 2 крупных корпораций. Эксперты

фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорации А равна 0,45.

Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что консультационная фирма получит оба заказа?

Решение: обозначим события:

А — «Получение консультационной работы в корпорации А»;

В — «Получение консультационной работы в корпорации В».

События А и В — зависимые, так как событие В зависит от того, произойдет или нет событие А.

По условию мы имеем Р(А) = 0,45, а также знаем, что Р(В/А) = 0,9.

Необходимо найти вероятность того, что оба события (и событие А, и событие В) произойдут, т.е. Р(АВ). Для этого используем правило умножения вероятностей:

Р(АВ) = Р(А)Р( B/А) = 0,45 · 0,9 = 0,405.

Формула полной вероятности и формула Байеса

Полной группой событий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий B₁, B₂, …, B_n, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий B₁, B₂, …, B_n, вероятности появления которых P(B₁),P(B₂), …,P(B_n). Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий B₁, B₂, …, B_n, которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез P(B₁),P(B₂), …,P(B_n).

По теореме умножения вероятностей

₁)=P(B₁)₁)=P(A)

Откуда

.

Аналогично для остальных гипотез

формула Байеса.

Задачи:

1) Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в

следующем году будет равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность будет равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.

Решение: определим события:

А — «Акции компании поднимутся в цене в будущем году».

Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н1 — «Экономика страны будет на подъеме»;

Н2 — «Экономика страны не будет успешно развиваться».

По условию известны вероятности гипотез:

Р(Н1) = 0,80; Р(Н2) = 0,20 и условные вероятности события А:

Р(А/Н1)= 0,75; Р(А/Н2)= 0,30.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А — это или Н1А, или Н2А. События Н1А и Н2А — несовместные попарно, так как события Н1 и Н2 — несовместны.

События Н1 и А, Н2 и А — зависимые. Вышеизложенное позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности:

Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) = 0,80 · 0,75 + 0,20 · 0,30 = 0,66.

2) На предприятии делают изделия на трёх поточных линиях: на первой – 20% продукции, на второй – 30%, на третьей – 50%. Каждая линия характеризуется следующим процентом годности:

95%, 98% и 97% соответственно. Определить вероятности того, что: взятое наугад изделие будет бракованным; брак сделан на 1, 2, 3 линии.

Решение: обозначим за А_1, А₂ и А₃ взятое наугад изделие с 1, 2 и 3 линии соответственно.

Согласно условию, Р(А₁)=0,2, Р(А₂)=0,3, Р(А₃)=0,5. Обозначим за В – бракованное изделие, взятое наугад. Согласно условию, Р(В|А₁)=0,05, Р(B|А₂)=0,02, Р(B|А₃)=0,03.

Используя формулу полной вероятности, находим:

Р(В)= Р(В|А₁) · Р(А₁)+ Р(B|А₂) · Р(А₂)+ Р(B|А₃) · Р(А₃)=0,2·0,05+0,3·0,02+0,5·0,03=0,031 – общий уровень брака на предприятии.

Вероятность того, что взятое наугад бракованное изделие изготовлено на той или иной линии найдём по формуле Байеса:

Р(А₁|B)=[P(A₁) · Р(В|А₁)] / P(B) = 10/31;

Р(А₂|B)=[P(A₂) · Р(В|А₂)] / P(B) = 6/31;

Р(А₃|B)=[P(A₃) · Р(В|А₃)] / P(B) = 15/31.

3) Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,70, в период умеренного экономического роста он подорожает с вероятностью 0,40 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,20. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста — 0,30; умеренного экономического роста — 0,50 и низкого роста — 0,20. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

Решение: определим события:

А — «Доллар дорожает». Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н1 — «Активный экономический рост»;

Н2 — «Умеренный экономический рост»;

Н3 — «Низкий экономический рост». По условию известны доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А:

Р(Н1) = 0,30, Р(Н2) = 0,50, Р(Н3) = 0,20, Р(А/Н1) = 0,70, Р(А/Н2) = 0,40, Р(А/Н3) = 0,20.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Событие А - это или Н1А, или Н2А, или Н3А. События Н1А, Н2А. и Н3А. - несовместные попарно, так как события Н1, Н2 и Н3 - несовместны. События Н1 и А, Н2 и А, Н3 и А - зависимые.

Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т. е. необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), т. е. Р(Н1/А).

Используя формулу Байеса и подставляя заданные значения вероятностей, имеем:

Р(Н1/А) =