Сложение и произведение вероятностей

События А и В называются несовместными, если в результате испытания

они никогда не могут наступить вместе.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

.

Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

Задачи:

1) Компания производит 40 000 холодильников в год, которые реализуются в различных

регионах России. Из них 10 000 экспортируются в страны СНГ, 8 000 продаются в регионах Европейской части России, 7 000 продаются в страны дальнего зарубежья, 6 000 в Западной Сибири, 5000 в Восточной Сибири, 4 000 в Дальневосточном районе. Чему равна вероятность того, что определенный холодильник будет: а) произведен на экспорт; б) продан в России?

Решение: обозначим события:

А — «Холодильник будет продан в странах СНГ»;

В — «Холодильник будет продан в Европейской части России»;

С — «Холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья»;

D — «Холодильник будет продан в Западной Сибири»;

Е — «Холодильник будет продан в Восточной Сибири»;

F — «Холодильник будет продан в Дальневосточном районе».

Соответственно, вероятность того, что холодильник будет продан в странах СНГ:

Р(А) = 10000/40000 =0,25;

вероятность того, что холодильник будет продан в Европейской части России:

Р(В) = 8 000/40 000 = 0,20;

вероятность того, что холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья:

Р(С) = 7 000/40 000 = 0,175;

вероятность того, что холодильник будет продан в Западной Сибири;

Р(D) = 6 000/40 000 = 0,15;

вероятность того, что холодильник будет продан в Восточной Сибири:

Р(Е) = 5 000/40 000 = 0,125;

вероятность того, что холодильник будет продан на Дальнем Востоке:

P(F) = 4 000/40 000 =0,10. События А, В, С, D, Е, F — несовместные.

Событие, состоящее в том, что холодильник произведен на экспорт, означает, что холодильник будет продан или в страны СНГ, или в страны дальнего зарубежья. Отсюда по формуле находим его вероятность:

Р(холодильник произведен на экспорт) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,25 + 0,175 = 0,425.

Событие, состоящее в том, что холодильник будет продан в России, означает, что холодильник будет продан или в Европейской части России, или в Западной Сибири, или в Восточной Сибири, или на Дальнем Востоке. Отсюда по формуле находим его вероятность:

Р(холодильник будет продан в России) = Р(B+D+E+ F) = Р(В) + P(D) + Р(Е) + P(F) = =0,20 + 0,15+0,125 + 0,10 = 0,575.

Этот же результат можно было получить рассуждая по-другому. События «Холодильник произведен на экспорт» и «Холодильник будет продан в России» — два взаимно противоположных события, отсюда по формуле:

Р(холодильник будет продан в России) = 1 - Р(холодильник произведен на экспорт) =

= 1 - 0,425 =0,575.

2) Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Предполагается, что оба события — независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит: а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу?

Решение: обозначим события:

А — «Потребитель увидит рекламу по телевидению»;

В — «Потребитель увидит рекламу на стенде»;

С — «Потребитель увидит хотя бы одну рекламу». Это значит, что потребитель увидит рекламу по телевидению, или на стенде, или по телевидению и на стенде. По условию

Р(А) = 0,04; Р(В) = 0,06.

События А и. В — совместные и независимые.

а) Поскольку вероятность искомого события есть вероятность совместного наступления

независимых событий А и В (потребитель увидит рекламу и по телевидению и на стенде), т. е. их пересечения, для решения задачи используем правило умножения вероятностей для независимых событий.

Отсюда

Р(АВ) = Р(А) · Р(В) = 0,04 · 0,06 = 0,0024.

Вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы, равна 0,0024.

б) Так как событие С состоит в совместном наступлении событий А и В, искомая вероятность может быть найдена с помощью правила сложения вероятностей.

Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = = 0,04 + 0,06 - 0,0024 = 0,0976.