Физический смысл производной

   Предположим, что функция у = f (x) описывает закон движения материальной точки М по прямой линии, т.е. y = f (x) — путь, пройденный точкой М от начала отсчета за время х. Тогда за время х₀ пройден путь y = f (x₀), а за время х₁ — путь y = f(x₁). За промежуток времени Δх= х₁ - х₀ точка М пройдет отрезок пути Δ y =f (x₁) - f (x₀) = f (х₀+ Δх) - f(x₀).    Отношение  называется средней скоростью движения за время Δх, а предел отношения   определяет мгновенную скорость точки в момент времени х₀. Производная функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в данной точке.

34 Непрерывность дифференцируемой функции

   Если функция y = f (x) имеет производную в точке х = х₀, то говорят, что при данном значении аргумента х = х₀ функция дифференцируема.    Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что она дифференцируема на этом интервале.    Если функция дифференцируема в некоторой точке х = х₀, то она в этой точке непрерывна.    Доказательство. Пусть в точке х = х₀ существует производная

.

Так как разность между функцией и её пределом есть бесконечно малая величина, то из определения производной следует соотношение

,

где γ (Δx) — является бесконечно малой величиной своего аргумента. Тогда Δy = f '(x₀)·Δx + γ (Δx)·Δx и откуда следует, что Δy → 0 при Δx → 0, а это означает непрерывность функции у = f (x) в точке х₀.    Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Однако и непрерывность функции не гарантирует существование производной в некоторой точке. Примером может служить функция , график которой представлен на рисунке ниже

Для этой функции левая и правая производные не совпадают, хотя функция обладает свойством непрерывности.    Если функция y = f (x) имеет конечную производную в каждой точке х  Х, то производную f '(x) можно рассматривать как функцию от х, также определенную на Х.

35