28 Первая теорема Больцано – Коши

  Пусть функция f (x) непрерывна в точке х₀ и кроме этого f (x₀) ≠ 0. Тогда существует δ > 0 такое, что для всех х  (х₀ − δ; х₀ + δ) функция f (x) имеет тот же знак, что и f (х₀).   Эта теорема характеризует устойчивость знака непрерывной функции.

29 Вторая теорема Больцано – Коши

  Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения f(a) = A, f (b) = B, то, каково бы ни было число m (A, B), найдётся такая точка х = с  (a, b), что f (c) = m (рис. 5.17).   Как частный случай имеет место следующее утверждение. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует внутренняя точка отрезка с  (a, b), в которой f(c) = 0.    Данная теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, граница которой является ось абсцисс, в другую, пересекает эту ось (рис. 5.18).   Теорема. Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] , то она на этом отрезке принимает по крайней мере один раз любое значение, заключённое между её наименьшими и наибольшими значениями.   Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать, что А < m < B. Рассмотрим на промежутке [а, b] вспомогательную функцию φ (x) = f (x) − m. Эта функция непрерывна на промежутке [а, b] и на концах его имеет разные знаки: φ (a) = f (a) − m = A − m < 0 и φ(b) = f(b) − m = B − m > 0. Тогда, по второй теореме Больцано – Коши, между a и b найдётся точка х = с, для которой φ(c) = m. Что и требовалось доказать.

30

(Обратная)  Функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = φ (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Например, О. ф. для у = ax + b (а≠0) является х = (у—b)/a, О. ф. для у = е^х является х = ln у и т.д. Если х = φ(y) есть О. ф. по отношению к у = f (x), то и у = f (x) есть О. ф. по отношению к х = φ(y). Областью определения О. ф. является область значений данной функции, а областью значений О. ф.— область определения данной. Графики двух взаимно обратных функций у = f (x) и у = φ (x) (где независимое переменное обозначено одной и той же буквой х), как, например, у = ax + b и у = (х—b)/a, у = е^х и у = ln х, симметричны по отношению к биссектрисе у = х первого и третьего координатных углов. Функция, обратная по отношению к однозначной функии, может быть многозначной (ср., например, функции х² и у =f (x) принимала различные значения для различных значений аргумента. Для непрерывной функции последнее условие может выполняться только в том случае, если данная функция монотонна (имеются в виду функции действительного аргумента, принимающие действительные значения). О. ф. по отношению к непрерывной и монотонной функции однозначна, непрерывна и монотонна.

         Если данная функция кусочно монотонна, то, разбивая область её определения на участки её монотонности, получают однозначные ветви О. ф. Так, одним из участков монотонности для sin х служит интервал — π/2< x < π/2; ему соответствует т. н. главная ветвь arc sin хобратной функции Arc sin х. Для пары однозначных взаимно обратных функций имеют место соотношения φ[f (x)]=x и f [φ(x)] = х, первое из которых справедливо для всех значений х из области определения функции f (x), а второе — для всех значений х из области определения функции φ (x); например, e^lnx = х (х > 0), 1n (e^x) = х (— ∞ < х < ∞). Иногда функцию, обратную к f (x) =у, обозначают f^{- -1}(y) = х, так что для непрерывной и монотонной функции f (x):

         F ^-1[f (x)]=f [f ^-1) x)]=x.

         Вообще же f ^--1[f (x)] представляет собой многозначную функцию от х, одним из значений которой является х; так, для f (x) = x², х (≠ 0) является лишь одним из двух значений f ^--1[f (x)] = √x² (другое: —х); для f (x) = sin х, х является лишь одним из бесконечного множества значений

         f^{- -1}[f (x)] = Arc sin [sin x] = (—1) ⁿ x + nπ,

         n = 0, ± 1, ± 2,....

         Если у = f (x) непрерывна и монотонна в окрестности точки х = x₀ и дифференцируема при х = x₀, причём f'(x₀) ≠ 0, то f ^--1(y)дифференцируема при у = у₀ и

         

        (формула дифференцирования О. ф.). Так, для —π/2 < х < π/2, у = f (x) = sin х непрерывна и монотонна, f’(x) = cos х ≠ 0 и f^{- -1}(y)= arc sinу (—1< y <1) дифференцируема, причём

         

        где имеется в виду положительное значение корня (так как cos х > 0 для —π/2 < х < π/2).

Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f, также является возрастающей (соответственно убывающей). Доказательство.  Положим для определенности, что функция f возрастающая. Обратимость функции f — очевидное следствие теоремы о корне . Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f). Пусть x1 и x2 — произвольные значения из Е (f), такие, что x2> x1. и пусть y1=g(x1), y2=g(x2). По определению обратной функции x1=f(y1) и x2=f(y2). Воспользовавшись тем условием, что f — возрастающая функция, находим, что допущение y1 ≥ y2 приводит к выводу f (y1)≥f(y2), т. е. x1≥ x2. Это противоречит предположению x2> x1. Поэтому y2> y1 , т. е. из условия x2> x1 следует, что g (x2)>g (x1). Именно это и требовалось доказать.