25 Свойства функций, непрерывных в точке

Отметим основные локальные свойства непрерывных функций.

Теорема 9 (локальные свойства непрерывных функций).

1. Пусть функция f:E R непрерывна в точке a. Тогда f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

2. Пусть функция f(x) непрерывна в точке a и f(a) 0, то в некоторой окрестности точки a все значения функции положительны или отрицательны вместе с f(a).

3. Если f(x), g(x) - непрерывны в точке a, то функции: f(x)+g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (при g(a) 0 ) непрерывны в точке a.

4. Если функция g(x):Y R непрерывна в точке b Y, а функция f:E Y непрерывна в точке a, f(a) = b, тогда композиция g_° f также непрерывна в точке a.

Непрерывность сложной функции

  Пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х₀, а функция f (y) непрерывна в точке у₀ = φ (x₀), тогда сложная функция f(φ(x)) непрерывна в точке х₀.   Доказательство. Выберем произвольную как угодно малую окрестность U(z₀) точки z₀ = f (y₀). Тогда в силу непрерывности функции f (y) найдётся такая окрестность V(y₀) точки у₀, что, если у V(y₀), то значения функции f (y)  U(z₀). Далее, для полученной окрестности V(y₀) в силу непрерывности функции у = φ (x) в точке х₀ существует такая окрестность W(x₀), что если х  W(x₀), то значения функции у = φ(x) V(y₀). Следовательно, для произвольной точки х  W(x₀) следует z = f (φ(x)) U(z₀). Что и требовалось доказать.   Это можно записать ещё и так

.

Указанное выше свойство можно сформулировать в виде правила замены переменной: пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х₀, а функция f (y) непрерывна в точке у₀ = φ(x₀), тогда

26 Первая теорема Вейерштрасса

  Если функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a, b], то она на этом промежутке ограничена.   Доказательство. Функция f (х) ограничена на промежутке [а, b], если существуют такие конечные числа m и M, что m ≤ f (х) ≤ М при a ≤ x ≤ b. Допустим, что функция f (х) при изменении х в промежутке [а, b] оказывается неограниченной. В таком случае для каждого натурального числа n найдётся в промежутке [а,b] такое значение х = х_n, что f ( x_n) ≥ n. Однако по лемме Больцано – Вейерштрасса из этой ограниченной последовательности {x_n} можно выделить сходящуюся частичную подпоследовательность:

Причем, очевидно, х₀  [a, b]. Вследствие непрерывности функции в точке х₀ должно быть выполнено

Однако, в силу f (x_n) ≥ n имеем

Полученное противоречие и доказывает теорему.

27 Вторая теорема Вейерштрасса

  Непрерывная на отрезке [a, b] функция ограничена и достигает на этом отрезке своей верхней и своей нижней грани (рис. 5.19).    Доказательство. Пусть f (x)  C_[a, b] (функция принадлежит классу непрерывных функций на отрезке [a, b]) и пусть . Согласно определению верхней грани функции, для каждого n существует такая точка х_n [а, b], что

,

Из последовательности x_n [а, b] можно выделить сходящуюся к некоторому значению х₀ подпоследовательность:

.

В силу непрерывности функции имеем далее

.

В то же время

.

И в пределе f (x₀)  M. Но f (x₀) не может быть больше верхней границы М и, следовательно, f (x₀) = М. Что и требовалось доказать.