Определение объёма. Объем тела вращения.

.Тогда пусть ,фигуры, которые удовлетворяют условию:; .

Тогда внешний объем равен: , а внутренний:.

Если , то множество- кубируемое.

Лемма: (объем цилиндра)

- множество точек плоскости, удовлетворяющих условию и, то- цилиндр. Его объем равен:. Так как- квадрируемое множество, то:. Значит;

, соответственно . Значит объем цилиндра равен.

Теперь непосредственно рассмотрим вращение произвольное тело вращения.

Пусть - есть произвольная непрерывная функция, причемна отрезке. Будем вращать данную кривую на отрезкевокруг оси. Получим тело вращения.

Разобьем отрезок :. Пусть,. Рассмотрим два цилиндраи(см. рис. ),. Теперь пусть

и . Нетрудно видеть , что

и . Это означает, что еслифункция интегрируема на отрезке, то и. При вращении вокруг осиформула примет вид.

Пример: Рассмотрим вычисление объема тела вращения на примере шара:

. Значит объем шара равен: .

Билет 50

Длина дуги кривой. Определение и вычисление.

Пусть Г есть гладкая кривая определенная функциями ,, имеющими на [a,b] непрерывные производные. Введем разбиение и составим сумму,

представляющую собой длину ломаной, вписанной в Г с вершинами в точках, соответствующих значениям .

Имеем тогда (

В первом равенстве цепи мы воспользовались теоремой о среднем.

Чтобы обосновать, что , введем вспомогательную функцию

очевидно непрерывную на кубе Модуль ее непрерывности наобозначим через. Так как расстояние между точками (не превышает, тои потому.

Мы доказали, что длина гладкой кривой существует и выражается формулой

(1)

При замене переменной при помощи непрерывно дифференцируемой функции получим, очевидно,

где что показывает инвариантность определения длина дуги.

Если кривая (плоская) задана уравнением гдеимеет непрерывную производную на [a,b], то, очевидно, ее длина дуги выражается формулой

(надо положить в формуле (1) t=x, y=f(x), z=0).

Пример 1: