Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.

Теорема 1:

Если функции интегрируемы наи

Доказательство:

выполняется неравенство , тогда. Так как интегралы по условию существуют, по теореме о предельном переходе под знаком неравенства,. Теорема доказана.

Следствие:

Если - интегрируема на, то, по доказанному выше,- интегрируем на данном отрезке; тогда

Доказательство:

Известно неравенство: ; по данной теореме

; из самого правого интеграла минус можно вынести; получим:

. Следствие доказано.

Теорема 2: (о среднем)

Пусть интегрируемы на, причемна данном промежутке, тогда

, где ,

и

Замечание: sup и inf существуют, т.к. функция на данном промежутке интегрируема, а значит ограничена.

Доказательство:

Запишем неравенство: и домножим его на:

; тогда по теореме о неравенствах это неравенство сохранится и в интегралах:

()

Если , то и интеграли неравенство () выполняется.

Если , тогда по теореме о неравенствах, значит можно неравенство () на него разделить:

и принимаем за . Теорема доказана.

Следствие:

Если непрерывна наи выполняется условие теоремы, то

Доказательство:

Т.к. непрерывна на, то она достигает своегоmax и min значения, а в силу непрерывности sup=max, inf=min; значит - по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции. Следствие доказано.

Следствие к следствию:

Если непрерывна на, то

Доказательство:

Возьмем , тогда(по следствию). Следствие доказано.

Геометрический смысл этого следствия:

Если считать площадь криволинейной трапеции, то найдется такая точка , что площадь этой криволинейной трапеции будет равна площади прямоугольника с высотой.

Билет 47

Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим функцию , интегрируемую на отрезке. По аддитивному свойству интеграла:

, можно найти отрезок на котором представляется возможным рассмотреть функцию.

Теорема:

Если функция интегрируема на отрезке, тонепрерывна на отрезке.

Доказательство:

Рассмотрим функцию ,

, где ,,, где

Теорема доказана.

Теорема:

Пусть функция интегрируема на отрезке, непрерывна в точке, тогда функциядифференцируема в точкеи.

Доказательство:

,

, , т.е.

.

Теорема доказана.

Следствие:

Если функция непрерывна на отрезке, то, т.е.- первообразная.

,

Функция непрерывна в точке,;, гденепрерывна на отрезке. Заключаем, что.

Т.е. любая непрерывная функция имеет первообразную.

Теорема доказана.

Формула Ньютона-Лейбница:

Функция непрерывна на отрезке, тогда она имеет первообразную. Пусть- её произвольная первообразная. Тогда.

Доказательство:

Функция непрерывна на отрезке,- первообразная функции,

, ,

. Теорема доказана.

Билет 48 Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.

Определение: Пусть множество и A – ограничено. Рассмотрим множество (объединение прямоугольников), такое что, и множество, такое что, и назовемифигурами. Площади этих фигуриможно посчитать. Т.к. множествооганичено сверху (S(A)). Аналогичноограничено снизу (нулем). Если, то это площадьA, а множество называется квадрируемым.

Пример1: Пусть τ – отрезок и .Ø. При этомS(M΄)=0 и . Пусть длина отрезка равнаd, тогда , адлиныd и высоты h. Тогда . ПолучилиS(τ)=0.

Пример2: .,Ø и, т.к. никакой прямоугольник полностью не лежит в этом множестве., т.е., поэтому. Получаем, что, поэтому множествоA - не квадрируемое.

Пусть f(x)≥0 на [a,b]. Криволинейная трапеция T - множество (x,y), такое что a≤x≤b и 0≤y≤f(x).

Теорема: (О площади криволинейной трапеции).

Пусть функция f(x)≥0 на [a,b]. Криволинейная трапеция T квадрируема тогда и только тогда(), когда функция f(x) интегрируема на [a,b]. При этом площадь T равна: .

Доказательство: : По основной теореме . Найдутся такие и, чтои. Тогда.

: , так как криволинейная трапецияT квадрируема. Тогда Обе интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу (S). ,. Следовательно, поэтому функцияf(x) интегрируема (из следствия основной теоремы).

Пример. x²+y²=R². a≤x≤b (a=-R, b=R), и 0≤y≤. При этом

Замечание к определению площади: Множества можно заменить на любые другие квадрируемые множества. Если- фигуры,- квадрируемые множества, т.е. существуют площадии при этом, то приполучим все то же самое.

Пусть множество задано в полярных координатах: x=r·cost, y=r·sint. Рассмотрим множество A, такое, что α≤t≤β и 0≤r≤r(t). Введем разбиение угла [α,β]: α=t₀<t₁<t₂<…<t_n=β. При этом Δt_i=[t_i ,t_i+1]. Рассмотрим сектора окружностей r_i=m_i – это будут сектора иr_i=M_i – это будут сектора .и. Окружности (с углом 2π) соответствует площадьπR², а сектору с углом α – площадь αR²/2. Поэтому и.и- нижняя и верхняя суммы Дарбý для функцииf=r²/2. Получим и. То есть площадьS(A) существует и равна S (т.е. A квадрируема) тогда и только тогда, когда существует интеграл

Билет 49