- •Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.
- •Ограниченность интегрируемой функции.
- •Суммы Дарбу. Их Свойства.
- •Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.
- •Билет 41 Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.
- •Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности.
- •Теорема 2 Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем ().
- •Интегрируемость по Риману непрерывной функции.
- •Интегрируемость по Риману монотонной функции.
- •Аддитивное и однородные свойства определенного интеграла Римана.
- •Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.
- •Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.
- •Билет 48 Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.
- •Определение объёма. Объем тела вращения.
- •Длина дуги кривой. Определение и вычисление.
Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности.
Определение 1: ограниченная функция,ипри выполнении условия,называется равномерно непрерывной.
Определение 2(Критерий Коши): - равномерно непрерывная функция на отрезке если выполняется условиепри.
Теорема 1 (Эквивалентность определений 1 и 2)
Доказательство:
Так как и выполняется Критерий Коши.
Теорема 2 Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем ().
Доказательство:
Допустим что теорема неверна. Построим отрицание к определению 2.
. Зададим стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел , тогда. Так как точки последовательностипринадлежат к отрезку, то эта последовательность ограничена, и из нее можно выделить, по теореме Больцано-Вейерштрасса, подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке. Значит, из нее можно выделить также подпоследовательность. Аналогично выделим подпоследовательностьи. Получили противоречие – теорема доказана.
Необходимость условия: Если , то теорема 2 не выполняется.
Пример Пустьпри.
Билет 43
Интегрируемость по Риману непрерывной функции.
Теорема 1:
Если функция непрерывна на, то она интегрируема на.
Доказательство:
Пустьнепрерывна на; тогда для разбиенияR, у которого частичные отрезки , имеет место ().
где есть модуль непрерывностина.
Поэтому
.
Но, как мы знаем, для непрерывной на замкнутом конечном отрезке функции, поэтому для любогоможно указать такое, что.
В силу основной теоремы интегралнасуществует.
Теорема доказана.
Билет 44
Интегрируемость по Риману монотонной функции.
Теорема 1:
Если функция монотонна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство:
Возьмем произвольное разбиение
Рассмотрим разность между верхней и нижней суммой Дарбу, пусть для определенности f не убывает на , тогда мы получим, что
Получим, что разность между верхней и нижней суммой Дарбу
Теорема доказана.
Билет 45
Аддитивное и однородные свойства определенного интеграла Римана.
Теорема 1: (Аддитивное свойство интегралов)
Функция интегрируема на отрезкетогда и только тогда, когдафункция интегрируема на отрезкахии при этом выполняется равенство:
Доказательство:
Пусть интегрируема на, тогда по основной теореме
Можно считать, что точка c является точкой разбиения, потому что, если она таковой не является, мы добавим эту точку и рассмотрим новое разбиение , тогда, поэтому можно считать, что разбиениеR изначально содержит точку с. Тогда это разбиение порождает разбиения - разбиениеи- разбиение. Тогдаи разность сумм Дарбу можно представить как:
. Так как каждое из этих двух слагаемых неотрицательно и в сумме они меньше , значит каждое из них меньшепо основной теоремеинтегрируема наи. Доказано.
Пусть интегрируема на отрезкахи, тогда точно так же найдем- разбиениеи- разбиение, такие чтои, тогда для разбиения, гдеR–разбиение отрезка ,
значит интегрируема на отрезке. Доказано.
Доказали интегрируемость, теперь докажем равенство :
Замечание: Мы предполагаем, что точка с участвует во всех этих разбиениях; если она в них не участвует, то по следствию из основной теоремы нам это неважно, поскольку если хотя бы для одной последовательности разбиений предел стремится к числу, то и для всех остальных - тоже. И мы берем такую последовательность разбиений, что точка с в них участвует.
- сумма берется по тем отрезкам, которые содержатся в исоответственно. Нужно учесть, что. Теорема доказана.
Замечание: Мы определили понятие определенного интеграла только для случая ; доопределим понятие определенного интеграла отa до b в случае, когда :
Если , то положим, тогда равенствостановится верным не только для, но и для любых, при условии что все вышеперечисленные интегралы существуют.
Пример:
Теорема2: (Однородные свойства интегралов)
Пусть функции интегрируемы на, тогда
f + g – интегрируема на и, если интегралы в правой части существуют, т.е. в общем случае обратное не верно.
(Пример: Если взять f – неинтегрируема на и –f – тоже неинтегрируема, то их сумма =0 – интегрируема).
- интегрируема на и, обратное тоже верно, в случае если
- интегрируема.
- интегрируем
Если отделена от 0 на отрезке, т.е.нагде, то- интегрируема.
Доказательство:
1)
2) аналогично;
Замечание: обозначим ;;- по свойству ограниченности; соответственно введем
3)
Перейдем к супремумам: на произвольном промежутке
По основной теореме найдутся такие разбиения , чтои, что. Теперь если мы возьмем сумму разбиенийи, то будут выполняться оба неравенства, и тогдаинтегрируема.
4) ; переходя к супремумам и умножая на, получим:
Замечание: переход к супремуму на промежутке :
Замечание: обратное неверно:
Контрпример: - сама по себе не интегрируема (доказано ранее), а по модулю – интегрируема.
5) ; переходя к супремумам супремум в этом неравенстве, получим:
; теперь домножая на и суммируя, получим
Теорема доказана.
Билет 46